M9 Aufgaben zur Trigonometrie: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|1=a) In dem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse c = 5m und der Winkel <math>\alpha=15^o</math> gegeben.
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{{Lösung versteckt|1=139/10a) In dem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse c = 5m und der Winkel <math>\alpha=15^o</math> gegeben.
 
Es ist <math>sin(15^o)=\frac{d}{5m} \rightarrow d = 5m \cdot sin(15^o)=1,29m</math>.<br>
 
Es ist <math>sin(15^o)=\frac{d}{5m} \rightarrow d = 5m \cdot sin(15^o)=1,29m</math>.<br>
  
 
b) Hier macht man sich erste eine Skizze und trägt Hilfslinien ein.<br>
 
b) Hier macht man sich erste eine Skizze und trägt Hilfslinien ein.<br>
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In der Zeichnung kennt man keinen Winkel, aber diverse Streckenlängen, allerdings keine Längen in einem rechtwinkligen Dreieck. <br> Die Höhe auf die Basis ist in der Skizze x + 1m. Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man x berechnen. <br>
 
In der Zeichnung kennt man keinen Winkel, aber diverse Streckenlängen, allerdings keine Längen in einem rechtwinkligen Dreieck. <br> Die Höhe auf die Basis ist in der Skizze x + 1m. Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man x berechnen. <br>
 
<math>\frac{x}{x+1} = \frac{0,75}{1,55}</math> <br>
 
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In dem Dreieck links unten kennt man zum Basiswinkel <math>\beta</math> die Ankathete 0,4m und die Gegenkathete 1,0m, also ist <math>tan(\beta)=\frac{1m}{0,4m}=2,5</math> und <matsh>\beta = 68,2^o</math><br>
 
In dem Dreieck links unten kennt man zum Basiswinkel <math>\beta</math> die Ankathete 0,4m und die Gegenkathete 1,0m, also ist <math>tan(\beta)=\frac{1m}{0,4m}=2,5</math> und <matsh>\beta = 68,2^o</math><br>
Zeichnet man nun noch die Höhe h von der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks auf die Basis ein, dann hat man im linken rechtwinkligen Dreieck den Winkel <math>\beta</math> und seine Ankathete <math>\frac{1,55m}{s}=0,775m</math> und damit kann man die Höhe h berchnen. Es ist <math>tan(\beta)=\frac{h}{0,775m} \rightarrow h = 0,775m \cdot tan(68,2^o)=1,9376m </math>  }}
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Zeichnet man nun noch die Höhe h von der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks auf die Basis ein, dann hat man im linken rechtwinkligen Dreieck den Winkel <math>\beta</math> und seine Ankathete <math>\frac{1,55m}{s}=0,775m</math> und damit kann man die Höhe h berchnen. Es ist <math>tan(\beta)=\frac{h}{0,775m} \rightarrow h = 0,775m \cdot tan(68,2^o)=1,9376m </math>   
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140/16 In dem Dreieck STB ist kein rechter Winkel. Man macht sich eine Skizze und trägt die Höhe von B auf die Seite [ST] ein.<br>
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Die Dreiecke SFB und FTB sind bei F jeweils rechtwinklig.<br>
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Man kennt nur die beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> und keine weitere Streckenlängen in den rechtwinkligen Dreiecken. Man weiß aber, dass c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> = 29m ist. Also kann c<sub>1</sub> und c<sub>2</sub> verwenden. Es ist nämlich <math>tan(\alpha)=\frac{h}{c_2}, tan(\beta) = \frac{h}{c_1}</math> und damit ist <math>c_2=\frac{h}{tan(\alpha)}, c_1=\frac{h}{tan(\beta)}</math>. Setzt man dies in c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> = 29m ein , so erhält man <br>
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<math>c_1 + c_2 = \frac{h}{tan(\beta)} + \frac{h}{tan(\alpha)}=h\cdot(\frac{1}{tan(\alpha)}+\frac{1}{tan(\beta)})=29m</math>.<br>
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Nach h aufgelöst: <math> h = \frac{29m}{\frac{1}{tan(\alpha)}+\frac{1}{tan(\beta)}}=\frac{29m}{\frac{1}{tan(52^o)}+\frac{1}{tan(41^o)}}=15m</math>. <br>
 +
Der Fluss ist 15m breit.}}

Version vom 22. April 2021, 17:44 Uhr

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sin(45^o) cos(45^o)
sin(85^o) cos(5^o)
cos(20^o) sin(80^o)
cos(60^o) sin(30^o)
 cos(75^o) - sin(15^o) 0
 sin(30^o) 0,5
sin(0^o) +  sin(90^o) tan(45^o)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Im Einheitkreis (Kreis um den Ursprung mit Radius r = 1) ist das Dreieck ABC eingezeichnet.
250ox
1. Welche Länge hat die Hypotenuse c?
2. Bestimme sin(\alpha), cos(\alpha).
3. Stelle die Gleichung zum Satz des Pythagoras auf. Verwende die Ergebnisse von 1. und 2. Welche Beziehung zwischen sin(\alpha) und cos(\alpha) erhältst du?

1. Es ist c = 1, da c ein Radius ist.
2. sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{a}{1}=a
cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{b}{1}=b
3. a^2 + b^2 = c^2

Mit den Ergebnissen aus 1. und 2. erhält man (sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1
Maehnrot.jpg
Merke:


(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Löse (sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1 nach sin(\alpha) bzw. cos(\alpha) auf.

2. Berechne ohne Ermittlung des Winkels \varphi für
a) sin(\varphi)= 0,25 die Werte von cos(\varphi), tan(\varphi).
b) cos(\varphi)= 0,5 die Werte von sin(\varphi), tan(\varphi).
c) tan(\varphi)= 1 die Werte von sin(\varphi), cos(\varphi).
d) sin(\varphi)= 0,11 die Werte von cos(\varphi), tan(\varphi).
e) cos(\varphi)= 0,72 die Werte von sin(\varphi), tan(\varphi).
f) sin(\varphi)= 0,5 die Werte von cos(\varphi), tan(\varphi).

1. sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2} , cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}
2. a)cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}=0968
tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258

b) sin(\varphi)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}=\sqrt {1-0,5^2}=0,866
tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732

c) tan(\varphi)= 1 bedeutet \varphi = 445^o und sin(45^o)=cos(45^o)= \frac{1}{2}\sqrt 2

d) cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)=0111

e) sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964

f) cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0577


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 138 / 3 a - e
Buch S. 138 / 5 a, b

138/3a) Im Dreieck sind An- und Gegenkathete zum Winkel \beta. Also tan(\beta)=\frac{2cm}{6cm}=\frac{1}{3} ergibt \beta = 18,4^o.

b) Zum Winkel 25o ist die Hypotenuse gegeben. Gesucht ist seine Gegenkathete. Also sin(25^o)=\frac{x}{7cm} \rightarrow x = 7cm \cdot sin(25^o)=3,0cm.

c) Im Dreieck sind Ankathete und Hypotenuse zum Winkel \gamma. Also cos(\gamma)=\frac{4cm}{10cm}=0,4 ergibt \gamma = 66,4^o.

d) Hier hat man zwei rechtwinklige Dreiecke. Eines mit den Seiten z1, y und 12cm, das andere mit den Seiten z2, x und 12cm.

Im ersten Dreieck (mit den Seiten z1, y und 12cm) ist zum Winkel 60o die Gegenkathete gegeben. Dann kann man die Hypotenuse y mit dem Sinus berechnen. sin(60^o)=\frac{12cm}{y} \rightarrow y = \frac{12cm}{sin(60^o)}=\frac{12cm}{\frac{1}{2}\sqrt 3}=\frac{24cm}{\sqrt 3}=8\sqrt 3 cm \approx 13,9cm
In diesem Dreieck ist auch noch die Ankathete zum 60o-Winkel gesucht. Hier kann man sich aussuchen, ob man mit cos oder tan rechnen will. tan(60^o)=\frac{12cm}{z_1} \rightarrow z_1=\frac{12cm}{tan(60^o)}=\frac{12cm}{\sqrt 3}=4\sqrt 3 cm \approx 6,9cm oder cos(60^o)=\frac{z_1}{y} \rightarrow z_1 = y \cdot cos(60^o)=13,9cm\cdot 0,5)=7,0cm. Die unterschiedlichen Ergebnisse 6,9 cm und 7,0cm ergeben sich aus den Rundungen, mit denen man weiterrechnet. Wenn man die gnaze Anzeige des Taschenrechners nimmt und mit ihr weiterrechnet, erhält man in beiden Fällen 6,9cm.

Im zweiten Dreieck (mit den Seiten z2, x und 12cm) geht man ähnlich vor.
tan(55^o)=\frac{12cm}{z_2} \rightarrow z_2=\frac{12cm}{tan(55^o)}=8,4cm,
cos(55^o)=\frac{z_2}{x} \rightarrow x = \frac{8,4cm}{cos(55^o)}=14,6cm

e) Auch hier hat man zwei Dreiecke. Im linken Dreieck ist zum 12o-Winkel die Ankathete gegeben und die Hypotenuse gesucht. Also cos(12^o)=\frac{7,2cm}{y} \rightarrow y = \frac{7,2cm}{cos(12^o)} =7,4cm

Im rechten Dreieck ist die Gegenkathete zum 12o-Winkel gesucht und die Ankathete gegeben. Also tan(12^o)=\frac{x}{7,2cm} \rightarrow x = 7,2cm \cdot tan(12^o)=1,5cm

Da es sich hier um ein Parallelogramm handelt, hätte man x auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen können.


138/5a) In dem Dreieck sind a, b, und \gamma gegeben, also nimmt man als Überlegungsfigur das rechte Dreieck. Man sieht, dass man hb berechnen kann. Es ist sin(\gamma)=\frac{h_b}{a} \rightarrow h_b=a\cdot sin(\gamma)=4cm \cdot sin(45^o)=4cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 2=2\sqrt 2cm\approx 2,8cm
Damit ist der Flächeninhalt A = \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}\cdot 7cm \cdot 2\sqrt 2cm =7\sqrt 2 cm^2\approx 9,9cm^2

b) Im Dreieck sind b, C und amath>\alpha</math> gegeben, also nimmt man das linke Dreieck als Überlegungsfigur. Man kann hc berechnen. Es ist sin(\alpha)=\frac{h_c}{b} \rightarrow h_c = b\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot sin(60^o)=6cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 3 = 3 \sqrt 3 cm \approx 5,2cm.

Der Flächeninhalt ist A=\frac{1}{2}ch_c=\frac{1}{2}\cdot 4cm \cdot 3\sqrt 3cm =6\sqrt 3 cm^2\approx 10,4cm^2


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Textaufgaben
Buch S. 139 / 10
Buch S. 140 /16

139/10a) In dem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse c = 5m und der Winkel \alpha=15^o gegeben. Es ist sin(15^o)=\frac{d}{5m} \rightarrow d = 5m \cdot sin(15^o)=1,29m.

b) Hier macht man sich erste eine Skizze und trägt Hilfslinien ein.
139-10b.jpg
In der Zeichnung kennt man keinen Winkel, aber diverse Streckenlängen, allerdings keine Längen in einem rechtwinkligen Dreieck.
Die Höhe auf die Basis ist in der Skizze x + 1m. Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man x berechnen.
\frac{x}{x+1} = \frac{0,75}{1,55}
1,55x = 0,75x + 0,75
0,8 x = 0,75
x=\frac{0,75}{0,8}=\frac{15}{16}=0,9375.
Also ist die Höhe h in dem gleichschenkligen Dreieck h = 1.9375m.
Man erreicht also mit der Leiter eine Höhe von knapp 2m.
Für diese Lösung hat man keinen Winkel, keinen Sinus, Kosinus oder Tangens gebraucht, sondern nur den Strahlensatz!

Es sollte aber auch mit sin, cos oder tan gehen.
139-10b 2.jpg
In dem Dreieck links unten kennt man zum Basiswinkel \beta die Ankathete 0,4m und die Gegenkathete 1,0m, also ist tan(\beta)=\frac{1m}{0,4m}=2,5 und <matsh>\beta = 68,2^o</math>
Zeichnet man nun noch die Höhe h von der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks auf die Basis ein, dann hat man im linken rechtwinkligen Dreieck den Winkel \beta und seine Ankathete \frac{1,55m}{s}=0,775m und damit kann man die Höhe h berchnen. Es ist tan(\beta)=\frac{h}{0,775m} \rightarrow h = 0,775m \cdot tan(68,2^o)=1,9376m


140/16 In dem Dreieck STB ist kein rechter Winkel. Man macht sich eine Skizze und trägt die Höhe von B auf die Seite [ST] ein.
140-16.jpg
Die Dreiecke SFB und FTB sind bei F jeweils rechtwinklig.
Man kennt nur die beiden Winkel \alpha und \beta und keine weitere Streckenlängen in den rechtwinkligen Dreiecken. Man weiß aber, dass c1 + c2 = 29m ist. Also kann c1 und c2 verwenden. Es ist nämlich tan(\alpha)=\frac{h}{c_2}, tan(\beta) = \frac{h}{c_1} und damit ist c_2=\frac{h}{tan(\alpha)}, c_1=\frac{h}{tan(\beta)}. Setzt man dies in c1 + c2 = 29m ein , so erhält man
c_1 + c_2 = \frac{h}{tan(\beta)} + \frac{h}{tan(\alpha)}=h\cdot(\frac{1}{tan(\alpha)}+\frac{1}{tan(\beta)})=29m.
Nach h aufgelöst:  h = \frac{29m}{\frac{1}{tan(\alpha)}+\frac{1}{tan(\beta)}}=\frac{29m}{\frac{1}{tan(52^o)}+\frac{1}{tan(41^o)}}=15m.

Der Fluss ist 15m breit.