M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

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Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen

sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}
cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}
tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

die Unbekannte aus.

Buch S. 129 / 10

129-10.jpg
Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel \beta kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15} den Winkel \beta = 15^o.
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel \alpha + \beta = 57^o und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also \tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}.

Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m

Buch S. 129 / 11

a)
129-11 !.jpg
Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1 und \alpha = 5,7^o

b) tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25 und \beta = 14^o

c) tan(\gamma)=\frac{3}{100}=0,03 und \gamma = 1,7^o

d) tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12 und \alpha = 6,8^o

Buch S. 129 / 13

a) Angaben: Es ist a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, a + b+ c = 75cm.
Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man 7,5 b = 75cm und b = 10cm.
a = 40cm, b = 10cm, c = 25cm

V = abc=10000cm^3 = 10dm^3 und O = 2(ab+ac+bc)=2(400cm^2+1000cm^2+250cm^2)=3300cm^2 = 33dm^2

b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man mit dem Satz von Pythagoras \overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{1700cm^2}=10\sqrt{17}cm\approx 41,2cm

Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras \overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2+(25cm)^2}=\sqrt{2325cm^2} =5\sqrt{93}cm\approx48,2cm

In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist cos(\alpha)=\frac{10\sqrt{17}cm}{5\sqrt{93}cm}\approx 0,855 und \alpha = 31,2^o

Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können.
Es ist sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}cm}\approx 0,518 und \alpha = 31,2^o

Es ist tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606 und \alpha= 31,2^o

Buch S. 132 / 4a

Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels \alpha.
Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.
132-4a.jpg
Über die Winkelsumme kann man gleich \beta = 25^o bestimmen.
Mit sin(\alpha)=\frac{a}{c} erhält man a=c\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot (65^o)=5,44cm.
Mit cos(\alpha)=\frac{b}{c} erhält man b=c\cdot cos(\alpha)=6cm\cdot cos(65^o)=2,54cm
Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!
Den Flächeninhalt A erhält man mit A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2.

Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist r = \frac{1}{2}c = 3cm. Damit ist A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2.