M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 3: Zeile 3:
 
{{Merksatz|MERK=Die n-te Wurzel <math>\sqrt [n] {a}</math> aus a mit n<math>\in</math>N\{1} und a<math>\in</math>R<sup>+</sup><sub>0</sub> ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.  
 
{{Merksatz|MERK=Die n-te Wurzel <math>\sqrt [n] {a}</math> aus a mit n<math>\in</math>N\{1} und a<math>\in</math>R<sup>+</sup><sub>0</sub> ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.  
 
<center><math>(\sqrt [n] {a})^n = a</math></center>  
 
<center><math>(\sqrt [n] {a})^n = a</math></center>  
 +
 +
Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt '''Radikand''', n ist der '''Wurzelexponent'''.
 +
 +
Es ist 1.  <math>\sqrt [n] {a} \ge 0</math> <br>
 +
2. <math>(\sqrt [n] {a})^n = a</math><br>
 +
3. <math>\sqrt [n] {a^n} = a</math> falls a ≥ 0 }}
 +
 +
Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x<sup>2</sup> = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x<sup>3</sup> = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)<sup>3</sup> = -8 ist. Also kann man unterscheiden:
 +
 +
{{Merke|1=Die Gleichung x<sup>n</sup> = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:
 +
 +
n gerade ist und <br>
 +
a > 0, dann ist L={<math>-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}</math>}<br>
 +
a = 0, dann ist L = {0}<br>
 +
a < 0, dann ist L = {}
 +
 +
n ungerade ist und <br>
 +
a > 0, dann ist  L={<math>\sqrt [n] {a}</math>}<br>
 +
a = 0, dann ist L = {}<br>
 +
a < 0, dann ist L = {<math>-\sqrt [n]{a}</math>}
 
}}
 
}}

Version vom 1. März 2021, 12:04 Uhr

Zu Beginn des Schuljahres haben wir \sqrt a als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die n-te Wurzel \sqrt [n] {a} aus a mit n\inN\{1} und a\inR+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

(\sqrt [n] {a})^n = a

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. \sqrt [n] {a} \ge 0
2. (\sqrt [n] {a})^n = a
3. \sqrt [n] {a^n} = a falls a ≥ 0

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {}

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={\sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {}
a < 0, dann ist L = {-\sqrt [n]{a}}