M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen

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n ungerade ist und <br>
 
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a > 0, dann ist  L={<math>\sqrt [n] {a}</math>}<br>
 
a > 0, dann ist  L={<math>\sqrt [n] {a}</math>}<br>
a = 0, dann ist L = {}<br>
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a = 0, dann ist L = {0}<br>
 
a < 0, dann ist L = {<math>-\sqrt [n]{a}</math>}
 
a < 0, dann ist L = {<math>-\sqrt [n]{a}</math>}
 
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Version vom 1. März 2021, 12:04 Uhr

Zu Beginn des Schuljahres haben wir \sqrt a als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die n-te Wurzel \sqrt [n] {a} aus a mit n\inN\{1} und a\inR+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

(\sqrt [n] {a})^n = a

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. \sqrt [n] {a} \ge 0
2. (\sqrt [n] {a})^n = a
3. \sqrt [n] {a^n} = a falls a ≥ 0

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {}

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={\sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {-\sqrt [n]{a}}