M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen

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a > 0, dann ist  L={<math>\sqrt [n] {a}</math>}<br>
 
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a = 0, dann ist L = {0}<br>
 
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a < 0, dann ist L = {<math>-\sqrt [n]{a}</math>}
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Beispiele: <math>\sqrt [5] {1024} = 4</math><br>
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<math>\sqrt {4] {0,0016} = 0,2<br>
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<math>\sqrt [10] {1024} = 2</math><br>
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<math> \sqrt [3] {216} = 6</math>
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<math>\sqrt {5} {243} = 3</math>
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<math> \sqrt [3} {729} = 9</math>
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Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:<br>
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x<sup>3</sup> = 216  hat die Lösung x = 6<br>
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x<sup>3</sup> = -216  hat die Lösung x = -6<br>
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x<sup>5</sup> = 1024  hat die Lösung x = 4<br>
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x<sup>4</sup> = 256  hat die Lösungen x = -4 und x = 4<br>
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x<sup>4</sup> = 2401  hat die Lösungen x = -7 und x = 7<br>
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x<sup>5</sup> = -243  hat die Lösung x = -3<br>
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x<sup>4</sup> = -256  hat die keine Lösung
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Version vom 1. März 2021, 12:17 Uhr

Zu Beginn des Schuljahres haben wir \sqrt a als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die n-te Wurzel \sqrt [n] {a} aus a mit n\inN\{1} und a\inR+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

(\sqrt [n] {a})^n = a

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. \sqrt [n] {a} \ge 0
2. (\sqrt [n] {a})^n = a
3. \sqrt [n] {a^n} = a falls a ≥ 0

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {}

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={\sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {-\sqrt [n]{a}}


Beispiele: \sqrt [5] {1024} = 4
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \sqrt {4] {0,0016} = 0,2<br> <math>\sqrt [10] {1024} = 2
 \sqrt [3] {216} = 6 \sqrt {5} {243} = 3 Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \sqrt [3} {729} = 9


Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x3 = 216 hat die Lösung x = 6
x3 = -216 hat die Lösung x = -6
x5 = 1024 hat die Lösung x = 4
x4 = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x4 = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x5 = -243 hat die Lösung x = -3
x4 = -256 hat die keine Lösung


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2, 3, 4