M9 Die allgemeine Wurzel

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Zu Beginn des Schuljahres haben wir \sqrt a als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die n-te Wurzel \sqrt [n] {a} aus a mit n\inN\{1} und a\inR+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

(\sqrt [n] {a})^n = a

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. \sqrt [n] {a} \ge 0
2. (\sqrt [n] {a})^n = a
3. \sqrt [n] {a^n} = a falls a ≥ 0

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {}

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={\sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {-\sqrt [n]{a}}


Beispiele: \sqrt [5] {1024} = 4
\sqrt [4] {0,0016} = 0,2
\sqrt [10] {1024} = 2
 \sqrt [3] {216} = 6
\sqrt [5] {243} = 3
 \sqrt [3] {729} = 9


Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x3 = 216 hat die Lösung x = 6
x3 = -216 hat die Lösung x = -6
x5 = 1024 hat die Lösung x = 4
x4 = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x4 = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x5 = -243 hat die Lösung x = -3
x4 = -256 hat die keine Lösung


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2, 3, 4