M9 Parabelgleichung ablesen und Parabel zeichnen

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Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist die Normalparabel, der Graph der Funktion f:x\rightarrow x^2 mit den eingezeichneten Punkten.

X^2.jpg

Für die Punkte hat man folgende Tabelle:

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
y 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4

Zum Zeichnen oder Ablesen geht man bei einer Parabel mit a = 1, also y = x^2 + bx + c stets vom Scheitel S, dessen Koordinaten (xS;yS) wir kennen, aus.
a = 1 bedeutet, dass die Parabel zur Normalparabel kongruent ist. Sie ist also nur um xS in x-Richtung und yS in y-Richtung verschoben.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Stelle in dem Applet a = 1, xS = 0 und yS = 0 ein. Das ist die Normalparabel. Ändere nun die Einstellungen von xS und yS.

Verifiziere, dass die verschobenen Parabeln kongruent zur Normalparabel y = x2 sind.


Man kann die Parabel, die kongruent zur Normalparabel ist (a = 1) und den Scheitel S(xS;yS) hat immer wie eine Normalparabel zeichnen.

Gehe von S aus -0.5 nach links bzw. 0,5 nach rechts und von dort jeweils 0,25 nach oben.
Gehe von S aus -1 nach links bzw. 1 nach rechts und von dort jeweils 1 nach oben.
Gehe von S aus -1,5 nach links bzw. 1,5 nach rechts und von dort aus jeweils 2,25 nach oben
Gehe von S aus -2 nach links bzw. 2 nach rechts und von dort aus jeweils 4 nach oben.

Umgekehrt kann man von einer gezeichneten Parabel die Parabelgleichung bestimmen.
Bei einer Normalparabel bestimme die Koordinaten xS und yS des Scheitels und setze sie in die Scheitelform (x - xS)2 + yS ein. Vereinfache dann den Term.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Wieso ist für den folgenden Graph a = 1?

(x-1)^2-1.jpg

Lies aus der Graphik die Scheitelkoordinaten ab und stelle die Parabelgleichung auf.

Geht man von S aus -1 nach links oder 1 nach rechts und jeweils von dort senkrecht nach oben, dann muss man 1 nach oben gehen, damit man auf die Parabel kommt.

xS=1, yS = -1, also y = (x - 1)2 -1 = x2 - 2x

Was ist, wenn a ≠ 1 ist?


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

In folgenden Applet ist die Normalparabel y=x2 (grün) und die Parabel y = ax2 (rot) gegeben. Mit den Schieberegler kannst du den Wert von a variieren.
Bei der Normalparabel sind die Punkte (-1;1) und (1;1) rot, bei der Parabel y = ax2 sind die Punkte (-1,a·(-1)2) und (1;a·12) ebenfalls rot.
1. Gib die Punkte auf der Parabel y =ax2 vereinfacht an.
2. Variiere den Schieberegler für a und schaue welche y-Koordinaten die roten Punkte auf der Parabel y = ax2 haben.

3. Bei der Normalparabel kommt man zu den roten Punkten, indem man vom Scheitel 1 nach links bzw. nach rechts geht und dann 1 nach oben. Wie kommt man bei der Parabel y = ax2 zu den roten Punkten?

1. Die roten Punkte haben die Koordinaten (-1;a) und (1;a).
2. Die y-Koordinaten der roten Punkte auf der Parabel y = ax2 sind jeweils a.

3. Man kommt bei der Parabel y = ax2 zu den roten Punkten, indem man von ihrem Scheitel aus 1 nach links bzw. nach rechts geht und dann a in y-Richtung.

Stelle dazu in dem Applet a = 1, xS = 0 und yS = 0 ein. Da hat man wieder die Normalparabel. In dem Applet sind die Punkte (-1;1) und (1;1) eingezeichnet. Wenn man nun den Schieberegler für a betätigt, dann sieht man, dass aus den Punkten (-1;1) und (1;1) die Punkte (-1;a) und (1;a) werden. Die y-Koordinate wird also jeweils mit a multipliziert.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Stelle den Schieberegler für a auf
a) a = 2
b) a = 3
c) a = -1
d) a = -2
und lies die y-Koordinaten der Punkte P(-1,yP)und Q(1;y!) ab.

Was passiert mit den y-Koordinaten der Punkte
e) A(-1,5;yA) und B(1,5;yB)? f) C(-2;yU) und D(2;yV)?

a) yP = 2, yQ = 2
b) yP = 3, yQ = 3
c) yP = -1, yQ = -1
d) yP = -2, yQ = -2

Die y-Koordinaten der Punkte U und V werden auch jeweils mit a mutipliziert.
e) A hat dann die y-Koordinate a·2,25 und B die y-Koordinate a·2,25.

f) C hat dann die y-Koordinate a·4 und D die y-Koordinage a·4.

Im folgenden Applet kannst du die Werte für xS, yS und a einstellen und am Graphen den Funktionsterm ablesen. Am Graph ist die Scheitelform angegeben, im Fenster eventuell der "normale" Term.

Nuvola apps kig.png   Merke

Für folgende Überlegungen steht das nachfolgende Applet zur Verfügung.
Aus dem Graphen kann man oftmals die Parabelgleichung ablesen.
Vorgehen: 1. Scheitel ablesen --> xS und yS für die Scheitelform.
2. Von S aus waagrecht 1 nach rechts oder 1 nach links und dann senkrecht bis zur Parabel (türkis) --> die Länge der senkrechten Strecke ist a (orange).
3. a, xS und yS in die Scheitelform f(x) = a(x-x_S)^2+y_S einsetzen.
4. In der Scheitelform die Klammern auflösen und zusammenfassen.

Umgekehrt kann man für einen quadratischen Term ax^2+bx+c genauso gut die Parabel zeichnen.
Vorgehen: 1. den Term ax^2+bx+c in die Scheitelform umwandeln f(x) = a(x-x_S)^2+y_S und x_S, y_S, a ablesen.
2. Im Koordinatensystem S einzeichnen.
3. Von S aus waagrecht 1 nach rechts bzw. 1 nach links gehen (türkis) und dann senkrecht dazu a in y-Richtung antragen (orange). Damit hat man zwei Punkte der Parabel.
4. Wer es genauer haben will, geht von S aus 0,5 waagrecht nach rechts und links und \frac{a}{4} in y-Richtung. --> 2 weitere Punkte der Parabel.
Von S aus waagrecht 2 nach rechts und 2 nach links und um 4a in y-Richtung. --> 2 weitere Punkte.
5. Durch die 7 Punkte eine Parabel zeichnen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Probiere beide Wege, die in "Merke" angeführt sind in dem Applet aus!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Bearbeite die beiden Arbeitsblätter: Arbeitsblatt 1, Arbeitsblatt 2

Arbeitsblatt 1:
(1) Scheitel S(-2;-3) und a = 2 (die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist a positiv; man geht von S aus 1 nach rechts und 2 nach oben), also y = 2(x + 2)2 - 3 = 2x2 + 8x + 5
(2) Scheitel S(1;-1) und a = 0,25 (bei der Normalparabel geht man 2 nach rechts und 4 nach oben, hier geht man von S aus 2 nach rechts und 1 nach oben, also 1 ist 1/4 von 4), also y = 0,25(x - 1)2 - 1 = 0,25x2 - 0,5x - 0,75
(3) Scheitel S(1;-2) und a = 0,5 (bei der Normalparabel geht man 1 nach rechts und 1 nach oben, hier geht man von S aus 1 nach rechts und 0,5 nach oben, also 0,5 ist 1/2 von 1), also y = 0,5(x - 1)2 - 2 = 0,5x2 - x - 1,5
(4) Scheitel S(-1;3) und a = -0,25 (de Parabel ist nach unten geöffnet, also ist a negativ; bei der Normalparabel geht man 2 nach rechts und 4 nach oben, hier geht man von S aus 2 nach rechts und 1 nach unten, also -1 ist -1/4 von 4), also y = -0,25(x + 1)2 +3 = -0,25x2 - 0,5x + 2,75
(5) Scheitel S(-1;2) und a = -0,5 (Parabel ist nach unten geöffnet, also ist a negativ; bei der Normalparabel geht man 2 nach rechts und 4 nach oben, hier geht man von S aus 2 nach rechts und 2 nach unten, also -2 ist -1/2 von 4), also y = -0,5(x + 1)2 + 2 = -0,5x2 - x + 1,5
(6) Scheitel S(2;4) und a = -1,5 (Parabel ist nach unten geöffnet, also ist a negativ; bei der Normalparabel geht man 1 nach rechts und 1 nach oben, hier geht man von S aus 1 nach rechts und 1,5 nach unten, also a=-1,5), also y = -1,5(x - 2)2 + 4 = -1,5x2 + 6x - 2

Die zweite Aufgabe auf dem Blatt kannst du selbst mit GeoGebra kontrollieren.

Aufgabenblatt 2:
1. Auf diesem Blatt sind nur Normalparabeln, also a = 1.
a) S(2;-9)
b) S(-1,5;-0,75)
c) S(-0,6;-2,86)
d) S(0,5;-1,5)
e) S(1,5;-3,25)
f) S(-2;-6,5)

2. Alle Parabeln sind nach oben geöffnet, also ist a = 1.
(1) S(-2;0,5), y = (x + 2)2 + 0,5 = x2 + 4x + 4,5
(2) S(-0,5;-1,5), y = (x + 0,5)2 - 1,5 = x2 - x - 1,75
(3) S(1;-2), y = (x - 1)2 - 2 = x2 - 2x - 3
(4) S(0,5;1,5), y = (x - 0,5)2 + 1,5 = x2 - x + 1,25
(5) S(2,5;1,5), y = (x - 2,5)2 + 0,5 = x2 - 5x -5,75

3. Alle Parabeln sind nach unten geöffnet, also ist a = -1.
blau: S(-2;0), y = -(x + 2)2 + 0 = -x2 - 4x - 4
rot: S(0;0); y = -x2
grün: S(0;2), y = -x2 + 2

lila: S(1;4), y = -(x - 1)2 + 4 = -x2 + 2x + 3