M9 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

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Am Straßenrand sieht man oft Verkehrszeichen, die auf eine Steigung oder ein Gefälle hinweisen.

Zeichen 110-58 - Steigung, StVO 1992.svg

Bei der Behandlung der linearen Funktionen und ihrer Graphen hatten wir bereits den Begriff der Steigung. 12% Steigung bedeutet, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt.
Aus der Geometrie würde man Steigung eher mit einem Winkel verbinden. Unter welchem Winkel ist die Gerade gegen die Waagrechte?

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Merke:

Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC kennt man diese Bezeichnungen.

Rechtwinkliges Dreieck.jpg

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel wird als Tangens dieses Winkels bezeichnet.

Tangens.jpg

Für den Tangens des Winkels \alpha schreibt man tan(\alpha) und spricht "Tangens von Alpha".

Es ist also tan(\alpha) = \frac{a}{b} und tan(\beta) = \frac{b}{a}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Die Tangenswerte berechnet man meist mit dem Taschenrechner. Auf dem Taschenrechner findest du die Taste tan.

Berechne tan(45°), tan(60°), tan (15°), tan(80°), tan(30°), tan(90°)

2. Die Zweitbelegung der Taste tan rufst du auf, indem du vorher die Taste shift oder inv betätigst. Welche Taste es ist hängt von dem Typ deines Taschenrechners ab. Schaue welche Farbe tan-1 über der tan-Taste hat. Auf deinem TR gibt es eine Taste in dieser Farbe, die nach Betätigung die Zweitbelegung aufruft. Damit erhältst du zu einem gegebenen Tangenswert den zugehörigen Winkel.

Bestimme den tan(\alpha)=1; tan(\beta) = 2; tan(\gamma) = 0,5

1. tan(45°)= 1
tan(60°)= 1,732...
tan (15°)=0,2679...
tan(80°)=5,6712...
tan(30°)=0,5773...
tan(90°) der TR liefert Error, dieser Tangens ist nicht definiert!

2. \alpha = 45^o
\beta = 63,4^o

\gamma =26,6^o

Beispiele

Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man
1. die Längen der Katheten a = 5m und b = 7m. Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks?
Lösung: Es ist tan(\alpha) = \frac{a}{b}=\frac{5m}{7m}=0,714285..... Mit der INV-tan-Taste am TR erhält man \alpha = 35,5^o
2. die Länge der Kathete a = 5m und den Winkel \beta = 65^o. Wie lang ist die Kathete b, die Hypotenuse c und wie groß ist der Winkel \alpha?
Lösung: Es ist tan(\beta) = \frac{b}{a}. Diese Gleichung löst man nach b auf und erhält b = a\cdot tan(\beta). Setzt man die Werte ein erhält man b = 10,7m und mit dem Satz von Pythagoras c = \sqrt{(5m)^2+(10,7m)^2}=\sqrt {139,49m^2}\approx 11,8m.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden spitzen Winkel 90°, also ist \alpha = 25^o


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Zeichne die Gerade g: y = \frac{2}{3}x -1 in ein Koordinatensystem und miss den Winkel \varphi, den g mit der x-Achse einschließt.

Berechne nun die Größe des Winkels \varphi.

Der Winkel \varphi ist der Steigungswinkel der Geraden.

127-bsp3.jpg

Mit dem Geodreieck misst man \varphi \approx 34^o.

Man zeichnet das Steigungsdreieck und liest daraus ab, dass die zwei Katheten die Längen 3 und 2 haben.

Es ist tan(\varphi)=\frac{2}{3}. Mit dem TR erhält man \varphi \approx 33,7^o.


Maehnrot.jpg
Merke:

Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC mit diesen Bezeichnungen

Rechtwinkliges Dreieck.jpg

führt man weitere Verhältnisse ein.

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Sinus dieses Winkels bezeichnet.

Sinus1.jpg

Das Verhältnis aus der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Kosinus dieses Winkels bezeichnet.

Kosinus.jpg

Für den Sinus des Winkels \alpha schreibt man sin(\alpha) und spricht "Sinus von Alpha",
für den Kosinus des Winkels \alpha schreibt man cos(\alpha) und spricht "Kosinus von Alpha".

Es ist sin(\alpha)=\frac{a}{c}, cos(\alpha)=\frac{b}{c} und sin(\beta)=\frac{b}{c}, cos(\beta)=\frac{a}{c}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Auf dem Taschenrechner findest du die sin-Taste und die cos-Taste, die du ähnlich wie die tan-Taste bedienst.

1. Berechne sin(30°), sin(45°), sin(60°), sin(37°).

2. Berechne den Winkel sin(\alpha) = 0,5; sin(\beta) = 0,7071; sin(\gamma)=0,8660.

3. Berechne cos(30°), cos(45°), cos(60°), cos(37°).

4. Berechne den Winkel cos(\alpha) = 0,5; cos(\beta) = 0,7071; cos(\gamma)=0,8660.

1. sin(30°)= 0,5
sin(45°)=0,71
sin(60°)=0,87
sin(37°)= 0,60

2. \alpha = 30^o; \beta = 45^o; \gamma = 60^o

3. cos(30°)= 0,87
cos(45°)= 0,71
cos(60°)= 0,5
cos(37°) = 0,8

4. \alpha = 60^o; \beta = 45^o; \gamma = 30^o


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

1. Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Länge 5cm der Hypotenuse und die Größe 30° des Winkels \alpha. Ermittle die Längen der beiden Katheten.

2. Ein 10m langes Brett wird an einem Ende auf ein 1m hohes Podest gelegt und bildet eine schiefe Ebene. Wie groß ist der Steigungswinkel \alpha?

131-bspl3.jpg

1. Der rechte Winkel sei bei C. Damit hat man die üblichen Bezeichnungen.
Es ist sin(\alpha)=\frac{a}{c} und cos(\alpha)=\frac{b}{c}.
Die Gleichungen löst man nach a bzw. b auf. Es ist a = c\cdot sin(\alpha), b = c \cdot cos(\alpha).
Setzt man die bekannten Werte ein, so ist a = 5cm \cdot sin(30^o)= 2,5cm und b = 5cm \cdot cos(30^o) = 4,3cm.

2. Es ist sin(\alpha)=\frac{1m}{10m}=0,1 und \alpha = 5,73917...^o\approx 6^o.
Nuvola apps kig.png   Merke
Rechtwinkliges Dreieck.jpg

Im rechtwinkligen Dreieck ist \alpha + \beta = 90^o, also \alpha = 90^o - \beta, \beta = 90^o - \alpha.
Weiter ist sin(\alpha)=\frac{a}{c}= cos(\beta); cos(\alpha)=\frac{b}{c}=sin(\beta).

Damit ist sin(\alpha) = cos(\beta), cos(\alpha) = sin(\beta) und sin(\alpha) = cos (90^o - \alpha), cos(\alpha) = sin(90^o - \alpha)

Desweiteren ist \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}=tan(\alpha), also tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}.


Ordne richtig zu

sin(45^o) cos(45^o)
sin(85^o) cos(5^o)
cos(20^o) sin(70^o)
cos(60^o) sin(30^o)
 cos(75^o) - sin(15^o) 0
 sin(30^o) 0,5
sin(0^o) +  sin(90^o) tan(45^o)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Vervollständige die Tabelle.

Tabelle sin cos tan 0.jpg

Was fällt dir auf, wenn du die Einträge von sin und cos anschaust?

Tabelle sin cos tan.jpg

Die Einträge bei sin sind von links nach rechts die selben wie bei cos von rechts nach links. Dies erklärt sich durch sin(\alpha) = cos (90^o - \alpha).
Nuvola apps kig.png   Merke

Die Kurzformen zum Merken:

sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}


Wer es nochmals ganz ausführlich erklärt und mit vorgerechneten Beispielen haben will , schaut sich diese Videos an:

Sinus Kosinus Tangens



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Gegeben ist ein Würfel mit Seitenlänge a.
1. Berechne die Größe des Winkels \alpha zwischen der Flächendiagonalen [CA] und der Seite [CB].
2. Berechne die Größe des Winkels \beta zwischen der Raumdiagonalen [CE] und der Flächendiagonalen [CA].
Wie groß sind die Winkel für a = 4cm?


1. Der Winkel \alpha ist ein Basiswinkel im gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck ABC und es ist \alpha = 45^o.
Oder mit tan:
Die Länge der Flächendiagonalen [AC] erhält man mit dem Satz von Pythagoras \overline {AC} = \sqrt {a^2 + a^2} = a\sqrt 2.
Im Dreieck ABC haben die Seiten [AB] und [BC] jeweils die Seitenlänge a. Es ist tan(\alpha) = \frac{\overline {AB}}{\overline {BC}}=\frac{a}{a}=1, also \alpha = 45^o.
Oder mit sin:
Im Dreieck ABC ist \overline {AB} = a und \overline {AC} = \sqrt 2 \cdot a, also sin(\alpha) = \frac{\overline {AB}}{\overline {AC}}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}. Es ist \alpha = 45^o
Oder mit cos:
Im Dreieck ABC ist \overline {BC} = a und \overline {AC} = \sqrt 2 \cdot a, also cos(\alpha) =  \frac{\overline {BC}}{\overline {AC}}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}. Es ist \alpha = 45^o

2. Die Länge der Raumdiagonalen [CE] erhält man auch mit dem Satz von Pythagoras. Es ist \overline {CE} = \sqrt {(\overline {AC})^2 + (\overline {AE})^2)}=\sqrt {(a \sqrt 2)^2 + a^2 }=\sqrt {3a^2} = a\sqrt 3.
Dann ist tan(\beta) = \frac{\overline {AE}}{\overline {AC}}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2} und \beta = 35,26^o
Oder sin(\beta)=\frac{\overline {AE}}{\overline {CE}}=\frac{a}{a\sqrt 3}=\frac{1}{\sqrt 3} und \beta = 35,26^o

Oder cos(\beta)=\frac{\overline {AC}}{\overline {CE}}=\frac{a\sqrt 2}{a\sqrt 3}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3} und \beta = 35,26^o


Da in den Termen zur Berechnung der Winkel sich die Seitenlänge a immer herauskürzt erhält man für jede Seitenlänge, also auch für a = 4cm, die berechneten Winkel.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 7

Bearbeite die Aufgaben 1 bis 4 auf dieser Seite.

Suche dazu im rechtwinkligen Dreieck immer die zum gesuchten oder gegebenen Winkel gehörigen Ankathete und Gegenkathete (und Hypotenuse) und berechne dann die gesuchte Größe.



In diesem Video
werden die drei Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens an einem rechtwinkligen Dreieck eingeführt, das eine andere Lage hat, aber ansonsten die gleichen Bezeichnungen. Den Kotangens behandeln wir nicht, da er nur der Kehrwert des Tangens ist und man mit dem Tangens die Probleme lösen kann! In diesem Video
werden einfache Aufgaben zu Sinus, Kosinus und Tangens erklärt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 8

Bestimme ohne Verwendung des Taschenrechners die exakten Werte für sin(\alpha), cos(\alpha), tan(\alpha), wenn
a) \alpha = 45^o
b) \alpha = 30^o
c) \alpha = 60^o ist.

Tipp: Betrachte ein halbes Quadrat bzw. ein halbes gleichseitiges Dreieck!

a) Der Winkel \alpha = 45^o ist Basiswinkel in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck. Die Summe der Basiswinkel ist 90o, also hat jeder Basiswinkel die Größe 45o.

Die Schenkellänge des Dreiecks ist a, dann ist die Basis die Hypotenuse des Dreieck und hat nach dem Satz des Pythagoras die Länge a\sqrt 2. Es ist dann
sin(45^o)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2}\sqrt 2
cos(45^o)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2}\sqrt 2
tan(45^o)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{a}{a}=1

b,c) In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a

GleichseitigesDreieck.jpg

sind die Innenwinkel alle 60o. Zeichnet man von C aus die Höhe auf die gegenüberliegende Seite ein, dann ist der Winkel zwischen der Höhe h und der Seite [AC] der halbe Innenwinkel, also 30o.
Die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnet man mit dem Satz von Pythagoras
h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2=\frac{3a^2}{4}, also  h=\sqrt 3 \cdot \frac{a}{2}.
Damit hat man alle Seiten im Dreieck AFC. Es ist \overline {AF} = \frac{a}{2}, \overline {AC} = a, \overline {FC} = \frac{a}{2} \sqrt 3.
Der 30o-Winkel ist der Winkel bei C mit den Schenkeln [CA] und [CF]. Die Gegenkathete ist [AF] und die Ankathete [FC].
Der 60o-Winkel ist der Winkel unten links mit Scheitel A und den Schenkeln [AF] und [AC]. Die Gegenkathete ist [FC] und die Ankathete [AF].
In beiden Fälle ist [AC] die Hypotenuse.
Damit ist

sin(30^o)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}
cos(30^o)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{a}=\frac{\sqrt 3}{2}
tan(30^o)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}\sqrt 3}=\frac{1}{\sqrt 3}

sin(60^o)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{a}=\frac{\sqrt 3}{2}
cos(60^o)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}

tan(60^o)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{\frac{a}{2}}=\sqrt 3


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 9

Berechne mit dem Taschenrechner die Werte

a) sin(00), sin(30o), sin(45o), sin(60o), sin(90o)
b) cos(00), cos(30o), cos(45o), cos(60o), cos(90o)
c) tan(00), tan(30o), tan(45o), tan(60o), tan(90o)

Vergleiche die Werte von sin(30o), sin(45o), sin(60o), cos(30o), cos(45o), cos(60o) mit den Werten von Aufgabe 7.

Besondere werte 2.jpg

Die Werte aus dieser Tabelle sind die gerundete Dezimalzahlen der Werte von Aufgabe 7.


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Merke:

Merke dir diese besonderen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte

Besondere werte.jpg


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 10

Bearbeite die Aufgaben 5 bis 7 auf dieser Seite.

Suche dir in der gegebenen Figur immer ein rechtwinkliges Dreieck und bestimme zu dem gegebenen oder gesuchten Winkel wieder An- und Gegenkathete. Berechne dann die gesuchten Stücke.