Quelltext der Seite M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

=Bruchgleichungen=

Bei den [http://rsg.zum.de/wiki/M8_Bruchgleichungen Bruchgleichungen der 8. Klasse] hast du schon Gleichungen wie <math>\frac{x}{x+1}=x</math> gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie <math>\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}</math> mit der Definitionsmenge  D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies? <br> 
Wenn du die Bruchgleilchung  <math>\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}</math> mit dem Produkt der Nenner (x<sup>2</sup>-x)(x<sup>2</sup>-1) multiplizierst, dann erhältst du:<br>
<math>\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1}</math> und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):<br>
<math>6(x^2-1)=5(x^2-x)</math><br>
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: <math> 6x^2-6 = 5x^2 -5x</math> --> <math>x^2 - 6 = -5x</math> --> <math>x^2+5x-6=0</math> das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.

{{Aufgaben-blau|1|2=Bestimme für die Bruchgleichung <math>\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}</math> die Definitionsmenge und ermittle dann die Lösungsmenge L. }}

{{Lösung versteckt|1=Da unsere Grundmenge R ist, ist D=R\{-1,0,1}; die quadratische Gleichung <math>x^2+5x-6=0</math> hat die Lösungen <math>x_1=-6, x_2=1</math>. Allerdings ist <math>x_2=1</math> nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.  }}


{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 76 / 6 }}

{{Lösung versteckt|1=Man verwendet den neben der Aufgabe stehende Tipp. Man multipliziert die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner.<br>
a) D=R\{-1;1}, HN=(n-1)(n+1)<br>
n+1 + n-1 = n², also n²-2n=0, n<sub>1</sub>=0, n<sub>2</sub>=2<br>
b)  D=R\{<math>.\sqrt 2 , \sqrt 2</math>}, HN = (x+<math>\sqrt 2</math>)(x-<math>\sqrt 2</math>)<br>
<math>(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)</math><br>
<math>x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)</math> <br>
<math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br>
<math>10=x^2</math>, also L={<math>-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br>
c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = <math>x^2-1</math><br>
x(x+1)-(15-x)=0 --> x² +2x -15 = 0 --> x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }}

=Anwendungsaufgaben=

{{Aufgaben-blau|3|2=Knobelaufgabe S. 76 / 9<br>
Dreiecksaufgabe S. 76 / 11 <br>
Busfahrt S. 77 / 14
}}

{{Lösung versteckt|1=76/9a) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = x^2-1</math> mit der positven Lösung <math>x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math>.<br>
b) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = \frac {1}{x} +1</math> mit den Lösungen  <math>x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2},  x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math>

76/11 Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man <math>(c+1)^2=b^2+(b-7)^2</math>. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung <math>b^2-16b+48=0</math>, welche die Lösungen <math>b_1=4, b_2=12</math>. Wegen a = b-7 ist b<sub>1</sub>=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13. <br>
(Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)<br>
<math>u_{Dreieck}=5+12+13=30</math>, <math>A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30</math><br>
Der Umkreis hat den Radius <math>r=\frac {c}{2}=6,5</math> (Thaleskreis!), also ist <math>A_{Kreis}=6,5^2 \pi\approx 132,73</math><br>
Es ist <math>\frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%</math>

77/14 Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt <math>x=\frac{450}{n}</math>.<br>
Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1. <br>
Man hat nun die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math>. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich <math>x=\frac{450}{n}</math> oder <math>n=\frac{450}{x}</math>. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math> ein, so erhält man <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math>. 
Die Gleichung <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math> kann man in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man sie mit <math>x</math> multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als <math>\frac{450-5x}{x}</math> schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)<br>
<math>450x=(450-5x)(x+1)</math> <br>
<math>450x=450x+450-5x^2-5x</math><br>
<math>0=450-5x^2-5x |\cdot -\frac{1}{5}</math><br>
<math>x^2+x-90=0</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-10, x_2=9</math>. <br>
Also war ursprünglich geplant, dass 50 Mitfahrer jeweils 9€ zahlen. Nun sind es 45 Mitfahrer und jeder zahlt 10€. }}

Und zum Anschauen:<br>
<center>{{#ev:youtube |31CGNKGGm_0|350}}</center>