Quelltext der Seite M9 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Am Straßenrand sieht man oft Verkehrszeichen, die auf eine Steigung oder ein Gefälle hinweisen.
<center>[[Datei:Zeichen_110-58_-_Steigung%2C_StVO_1992.svg|250px]]</center>
Bei der Behandlung  der linearen Funktionen und ihrer Graphen hatten wir bereits den Begriff der Steigung. 12% Steigung bedeutet, dass  pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt.<br>
Aus der Geometrie würde man Steigung eher mit einem Winkel verbinden. Unter welchem Winkel ist die Gerade gegen die Waagrechte?

{{Merksatz|MERK=Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC kennt man diese Bezeichnungen.
<center>[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck.jpg]]</center>

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel wird als '''Tangens''' dieses Winkels bezeichnet.
<center>[[Datei:Tangens.jpg]]</center> 

Für den Tangens des Winkels <math>\alpha</math> schreibt man <math>tan(\alpha)</math> und spricht "Tangens von Alpha".

Es ist also <math>tan(\alpha) = \frac{a}{b}</math> und <math>tan(\beta) = \frac{b}{a}</math>.  }}

{{Aufgaben-blau|1|2=1. Die Tangenswerte berechnet man meist mit dem Taschenrechner. Auf dem Taschenrechner findest du die Taste ''tan''.

Berechne tan(45°), tan(60°), tan (15°), tan(80°), tan(30°), tan(90°) 

2. Die Zweitbelegung der Taste ''tan'' rufst du auf, indem du vorher die Taste ''shift'' oder ''inv'' betätigst. Welche Taste es ist hängt von dem Typ deines Taschenrechners ab. Damit erhältst du zu einem gegebenen Tangenswert den zugehörigen Winkel.

Bestimme den <math>tan(\alpha)=1; tan(\beta) = 2; tan(\gamma) = 0,5</math>}}

{{Lösung versteckt|1=1. tan(45°)= 1<br>
tan(60°)= 1,732...<br>
tan (15°)=0,2679... <br>
tan(80°)=5,6712...<br>
tan(30°)=0,5773...<br>
tan(90°) der TR liefert ''Error'', dieser Tangens ist nicht definiert! 

2. <math>\alpha = 45^o</math><br>
<math>\beta = 63,4^o</math><br>
<math>\gamma =26,6^o</math>}}

'''Beispiele''' 

Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man <br>
1. die Längen der Katheten a = 5m und b = 7m. Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks?<br>
Lösung: Es ist <math>tan(\alpha) = \frac{a}{b}=\frac{5m}{7m}=0,714285....</math>. Mit der INV-tan-Taste am TR erhält man <math>\alpha = 35,5^o</math><br>
2. die Länge der Kathete a = 5m und den Winkel <math>\beta = 65^o</math>. Wie lang ist die Kathete b, die Hypotenuse c und wie groß ist der Winkel <math>\alpha</math>?<br>
Lösung: Es ist <math>tan(\beta) = \frac{b}{a}</math>. Diese Gleichung löst man nach b auf und erhält <math>b = a\cdot tan(\beta)</math>. Setzt man die Werte ein erhält man <math>b = 10,7m</math> und mit dem Satz von Pythagoras <math>c = \sqrt{(5m)^2+(10,7m)^2}=\sqrt {139,49m^2}\approx 11,8m</math>.<br>
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden spitzen Winkel 90°, also ist <math>\alpha = 25^o</math>

{{Aufgaben-blau|2|2=Berechne die Größe des Winkels <math>\varphi</math>, den die Gerade <math>g: y = \frac{2}{3}x -1</math> mit der x-Achse einschließt.

Der Winkel <math>\varphi</math> ist der '''Steigungswinkel''' der Geraden. }}

{{Lösung versteckt|1=Man zeichnet das Steigungsdreieck und liest daraus ab, dass die zwei Katheten die Längen 3 und 2 haben. 
<center>[[Datei:127-bsp3.jpg]]</center>
Es ist <math>tan(\varphi)=\frac{2}{3}</math>. Mit dem TR erhält man <math>\varphi \approx 33,7^o</math>. }}


{{Merksatz|MERK=Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC mit diesen Bezeichnungen
<center>[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck.jpg]]</center>
führt man weitere Verhältnisse ein. 

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als '''Sinus''' dieses Winkels bezeichnet.
<center>[[Datei:Sinus1.jpg]]</center>

Das Verhältnis aus der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als '''Kosinus''' dieses Winkels bezeichnet.
<center>[[Datei:Kosinus.jpg]]</center>  

Für den Sinus des Winkels <math>\alpha</math> schreibt man <math>sin(\alpha)</math> und spricht "Sinus von Alpha",<br>
für den Kosinus des Winkels <math>\alpha</math> schreibt man <math>cos(\alpha)</math> und spricht "Kosinus von Alpha".

Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}, cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> und <math>sin(\beta)=\frac{b}{c}, cos(\beta)=\frac{a}{c}</math>. }}

{{Aufgaben-blau|3|2=Auf dem Taschenrechner findest du die ''sin''-Taste und die ''cos''-Taste, die du ähnlich wie die ''tan''-Taste bedienst.

1. Berechne sin(30°), sin(45°), sin(60°), sin(37°).

2. Berechne den Winkel <math>sin(\alpha) = 0,5; sin(\beta) = 0,7071; sin(\gamma)=0,8660</math>.

3. Berechne cos(30°), cos(45°), cos(60°), cos(37°).

4. Berechne den Winkel <math>cos(\alpha) = 0,5; cos(\beta) = 0,7071; cos(\gamma)=0,8660</math>. }}

{{Lösung versteckt|1=1. sin(30°)= 0,5<br>
sin(45°)=0,71<br>
sin(60°)=0,87<br>
sin(37°)= 0,60

2. <math>\alpha = 30^o; \beta = 45^o; \gamma = 60^o</math>

3. cos(30°)= 0,87<br>
cos(45°)= 0,71<br>
cos(60°)= 0,5<br>
cos(37°) = 0,8

4. <math>\alpha = 60^o; \beta = 45^o; \gamma = 30^o</math> }}

{{Aufgaben-blau|4|2=1. Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Länge 5cm der Hypotenuse und die Größe 30° des Winkels <math>\alpha</math>. Ermittle die Längen der beiden Katheten.

2. Ein 10m langes Brett wird an einem Ende auf ein 1m hohes Podest gelegt und bildet eine schiefe Ebene. Wie groß ist der Steigungswinkel <math>\alpha</math>? 
<center>[[Datei:131-bspl3.jpg]]</center>}}

{{Lösung versteckt|1=1. Der rechte Winkel sei bei C. Damit hat man die üblichen Bezeichnungen.<br>
Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> und <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math>.<br>
Die Gleichungen löst man nach a bzw. b auf. Es ist <math>a = c\cdot sin(\alpha), b = c \cdot cos(\alpha)</math>.<br>
Setzt man die bekannten Werte ein, so ist <math>a = 5cm \cdot sin(30^o)= 2,5cm</math> und <math>b = 5cm \cdot cos(30^o) = 4,3cm</math>. 

2. Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{1m}{10m}=0,1</math> und <math>\alpha = 5,73917...^o\approx 6^o</math>. }}

{{Merke|1=<center>[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck.jpg]]</center>
Im rechtwinkligen Dreieck ist <math>\alpha + \beta = 90^o</math>, also <math>\alpha = 90^o - \beta, \beta = 90^o - \alpha</math>.<br> 
Weiter ist <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}= cos(\beta); cos(\alpha)=\frac{b}{c}=sin(\beta)</math>. <br>

Damit ist <math>sin(\alpha) = cos(\beta), cos(\alpha) = sin(\beta)</math> und <math>sin(\alpha) = cos (90^o - \alpha), cos(\alpha) = sin(90^o - \alpha)</math> 

Desweiteren ist <math>\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}=tan(\alpha)</math>, also <math>tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}</math>.                  }}

{{Aufgaben-blau|5|2=Vervollständige die Tabelle.
<center>[[Datei:Tabelle sin cos tan 0.jpg]]</center> 

Was fällt dir auf, wenn du die Einträge von sin und cos anschaust?}}

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Tabelle sin cos tan.jpg]]

Die Einträge bei sin sind von links nach rechts die selben wie bei cos von rechts nach links. Dies erklärt sich durch  <math>sin(\alpha) = cos (90^o - \alpha)</math>. }}




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In diesem Video {{#ev:youtube |NOFCCBDtV08|350}} werden die drei Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens an einem rechtwinkligen Dreieck eingeführt, das eine andere Lage hab, aber ansonsten die gleichen Bezeichnungen. Den Kotangens behandeln wir nicht, da er nur der Kehrwert des Tangens ist und man mit dem Tangens die Probleme lösen kann!

In diesem Video {{#ev:youtube |RxEB8Q3zVJs|350}} werden einfache Aufgaben zu Sinus, Kosinus und Tangens erklärt.