M9 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Am Straßenrand sieht man oft Verkehrszeichen, die auf eine Steigung oder ein Gefälle hinweisen.

Bei der Behandlung der linearen Funktionen und ihrer Graphen hatten wir bereits den Begriff der Steigung. 12% Steigung bedeutet, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt.
Aus der Geometrie würde man Steigung eher mit einem Winkel verbinden. Unter welchem Winkel ist die Gerade gegen die Waagrechte?

Merke: Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC kennt man diese Bezeichnungen. Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel wird als Tangens dieses Winkels bezeichnet. Für den Tangens des Winkels $\alpha$ schreibt man $tan(\alpha)$ und spricht "Tangens von Alpha". Es ist also $tan(\alpha) = \frac{a}{b}$ und $tan(\beta) = \frac{b}{a}$.

  Aufgabe 1

1. Die Tangenswerte berechnet man meist mit dem Taschenrechner. Auf dem Taschenrechner findest du die Taste tan.

Berechne tan(45°), tan(60°), tan (15°), tan(80°), tan(30°), tan(90°)

2. Die Zweitbelegung der Taste tan rufst du auf, indem du vorher die Taste shift oder inv betätigst. Welche Taste es ist hängt von dem Typ deines Taschenrechners ab. Schaue welche Farbe tan^-1 über der tan-Taste hat. Auf deinem TR gibt es eine Taste in dieser Farbe, die nach Betätigung die Zweitbelegung aufruft. Damit erhältst du zu einem gegebenen Tangenswert den zugehörigen Winkel.

Bestimme den $tan(\alpha)=1; tan(\beta) = 2; tan(\gamma) = 0,5$

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1. tan(45°)= 1
tan(60°)= 1,732...
tan (15°)=0,2679...
tan(80°)=5,6712...
tan(30°)=0,5773...
tan(90°) der TR liefert Error, dieser Tangens ist nicht definiert!

2. $\alpha = 45^o$
$\beta = 63,4^o$

$\gamma =26,6^o$

Beispiele

Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man
1. die Längen der Katheten a = 5m und b = 7m. Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks?
Lösung: Es ist $tan(\alpha) = \frac{a}{b}=\frac{5m}{7m}=0,714285....$. Mit der INV-tan-Taste am TR erhält man $\alpha = 35,5^o$
2. die Länge der Kathete a = 5m und den Winkel $\beta = 65^o$. Wie lang ist die Kathete b, die Hypotenuse c und wie groß ist der Winkel $\alpha$?
Lösung: Es ist $tan(\beta) = \frac{b}{a}$. Diese Gleichung löst man nach b auf und erhält $b = a\cdot tan(\beta)$. Setzt man die Werte ein erhält man $b = 10,7m$ und mit dem Satz von Pythagoras $c = \sqrt{(5m)^2+(10,7m)^2}=\sqrt {139,49m^2}\approx 11,8m$.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden spitzen Winkel 90°, also ist $\alpha = 25^o$

  Aufgabe 2

Zeichne die Gerade $g: y = \frac{2}{3}x -1$ in ein Koordinatensystem und miss den Winkel $\varphi$, den g mit der x-Achse einschließt.

Berechne nun die Größe des Winkels $\varphi$.

Der Winkel $\varphi$ ist der Steigungswinkel der Geraden.

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Mit dem Geodreieck misst man $\varphi \approx 34^o$.

Man zeichnet das Steigungsdreieck und liest daraus ab, dass die zwei Katheten die Längen 3 und 2 haben.

Es ist $tan(\varphi)=\frac{2}{3}$. Mit dem TR erhält man $\varphi \approx 33,7^o$.

Merke: Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC mit diesen Bezeichnungen führt man weitere Verhältnisse ein. Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Sinus dieses Winkels bezeichnet. Das Verhältnis aus der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Kosinus dieses Winkels bezeichnet. Für den Sinus des Winkels $\alpha$ schreibt man $sin(\alpha)$ und spricht "Sinus von Alpha", für den Kosinus des Winkels $\alpha$ schreibt man $cos(\alpha)$ und spricht "Kosinus von Alpha". Es ist $sin(\alpha)=\frac{a}{c}, cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ und $sin(\beta)=\frac{b}{c}, cos(\beta)=\frac{a}{c}$.

  Aufgabe 3

Auf dem Taschenrechner findest du die sin-Taste und die cos-Taste, die du ähnlich wie die tan-Taste bedienst.

1. Berechne sin(30°), sin(45°), sin(60°), sin(37°).

2. Berechne den Winkel $sin(\alpha) = 0,5; sin(\beta) = 0,7071; sin(\gamma)=0,8660$.

3. Berechne cos(30°), cos(45°), cos(60°), cos(37°).

4. Berechne den Winkel $cos(\alpha) = 0,5; cos(\beta) = 0,7071; cos(\gamma)=0,8660$.

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1. sin(30°)= 0,5
sin(45°)=0,71
sin(60°)=0,87
sin(37°)= 0,60

2. $\alpha = 30^o; \beta = 45^o; \gamma = 60^o$

3. cos(30°)= 0,87
cos(45°)= 0,71
cos(60°)= 0,5
cos(37°) = 0,8

4. $\alpha = 60^o; \beta = 45^o; \gamma = 30^o$

  Aufgabe 4

1. Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Länge 5cm der Hypotenuse und die Größe 30° des Winkels $\alpha$. Ermittle die Längen der beiden Katheten.

2. Ein 10m langes Brett wird an einem Ende auf ein 1m hohes Podest gelegt und bildet eine schiefe Ebene. Wie groß ist der Steigungswinkel $\alpha$?

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1. Der rechte Winkel sei bei C. Damit hat man die üblichen Bezeichnungen.
Es ist $sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ und $cos(\alpha)=\frac{b}{c}$.
Die Gleichungen löst man nach a bzw. b auf. Es ist $a = c\cdot sin(\alpha), b = c \cdot cos(\alpha)$.
Setzt man die bekannten Werte ein, so ist $a = 5cm \cdot sin(30^o)= 2,5cm$ und $b = 5cm \cdot cos(30^o) = 4,3cm$.

2. Es ist $sin(\alpha)=\frac{1m}{10m}=0,1$ und $\alpha = 5,73917...^o\approx 6^o$.

Merke Im rechtwinkligen Dreieck ist $\alpha + \beta = 90^o$, also $\alpha = 90^o - \beta, \beta = 90^o - \alpha$. Weiter ist $sin(\alpha)=\frac{a}{c}= cos(\beta); cos(\alpha)=\frac{b}{c}=sin(\beta)$. Damit ist $sin(\alpha) = cos(\beta), cos(\alpha) = sin(\beta)$ und $sin(\alpha) = cos (90^o - \alpha), cos(\alpha) = sin(90^o - \alpha)$ Desweiteren ist $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}=tan(\alpha)$, also $tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$.

Ordne richtig zu

$sin(45^o)$	$cos(45^o)$
$sin(85^o)$	$cos(5^o)$
$cos(20^o)$	$sin(70^o)$
$cos(60^o)$	$sin(30^o)$
$cos(75^o) - sin(15^o)$	0
$sin(30^o)$	0,5
$sin(0^o) + sin(90^o)$	$tan(45^o)$

  Aufgabe 5

Vervollständige die Tabelle.

Was fällt dir auf, wenn du die Einträge von sin und cos anschaust?

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Die Einträge bei sin sind von links nach rechts die selben wie bei cos von rechts nach links. Dies erklärt sich durch $sin(\alpha) = cos (90^o - \alpha)$.

Merke Die Kurzformen zum Merken: $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ $cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ $tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Wer es nochmals ganz ausführlich erklärt und mit vorgerechneten Beispielen haben will , schaut sich diese Videos an:

Sinus	Kosinus	Tangens

  Aufgabe 6

Gegeben ist ein Würfel mit Seitenlänge a.
1. Berechne die Größe des Winkels $\alpha$ zwischen der Flächendiagonalen [CA] und der Seite [CB].
2. Berechne die Größe des Winkels $\beta$ zwischen der Raumdiagonalen [CE] und der Flächendiagonalen [CA].
Wie groß sind die Winkel für a = 4cm?

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1. Der Winkel $\alpha$ ist ein Basiswinkel im gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck ABC und es ist $\alpha = 45^o$.
Oder mit tan:
Die Länge der Flächendiagonalen [AC] erhält man mit dem Satz von Pythagoras $\overline {AC} = \sqrt {a^2 + a^2} = a\sqrt 2$.
Im Dreieck ABC haben die Seiten [AB] und [BC] jeweils die Seitenlänge a. Es ist $tan(\alpha) = \frac{\overline {AB}}{\overline {BC}}=\frac{a}{a}=1$, also $\alpha = 45^o$.
Oder mit sin:
Im Dreieck ABC ist $\overline {AB} = a$ und $\overline {AC} = \sqrt 2 \cdot a$, also $sin(\alpha) = \frac{\overline {AB}}{\overline {AC}}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}$. Es ist $\alpha = 45^o$
Oder mit cos:
Im Dreieck ABC ist $\overline {BC} = a$ und $\overline {AC} = \sqrt 2 \cdot a$, also $cos(\alpha) = \frac{\overline {BC}}{\overline {AC}}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}$. Es ist $\alpha = 45^o$

2. Die Länge der Raumdiagonalen [CE] erhält man auch mit dem Satz von Pythagoras. Es ist $\overline {CE} = \sqrt {(\overline {AC})^2 + (\overline {AE})^2)}=\sqrt {(a \sqrt 2)^2 + a^2 }=\sqrt {3a^2} = a\sqrt 3$.
Dann ist $tan(\beta) = \frac{\overline {AE}}{\overline {AC}}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}$ und $\beta = 35,26^o$
Oder $sin(\beta)=\frac{\overline {AE}}{\overline {CE}}=\frac{a}{a\sqrt 3}=\frac{1}{\sqrt 3}$ und $\beta = 35,26^o$

Oder $cos(\beta)=\frac{\overline {AC}}{\overline {CE}}=\frac{a\sqrt 2}{a\sqrt 3}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}$ und $\beta = 35,26^o$

Da in den Termen zur Berechnung der Winkel sich die Seitenlänge a immer herauskürzt erhält man für jede Seitenlänge, also auch für a = 4cm, die berechneten Winkel.

  Aufgabe 7

Bearbeite die Aufgaben 1 bis 4 auf dieser Seite.

Suche dazu im rechtwinkligen Dreieck immer die zum gesuchten oder gegebenen Winkel gehörigen Ankathete und Gegenkathete (und Hypotenuse) und berechne dann die gesuchte Größe.

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In diesem Video

werden die drei Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens an einem rechtwinkligen Dreieck eingeführt, das eine andere Lage hat, aber ansonsten die gleichen Bezeichnungen. Den Kotangens behandeln wir nicht, da er nur der Kehrwert des Tangens ist und man mit dem Tangens die Probleme lösen kann! In diesem Video

werden einfache Aufgaben zu Sinus, Kosinus und Tangens erklärt.

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  Aufgabe 8

Bestimme ohne Verwendung des Taschenrechners die exakten Werte für $sin(\alpha), cos(\alpha), tan(\alpha)$, wenn
a) $\alpha = 45^o$
b) $\alpha = 30^o$
c) $\alpha = 60^o$ ist.

Tipp: Betrachte ein halbes Quadrat bzw. ein halbes gleichseitiges Dreieck!

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a) Der Winkel $\alpha = 45^o$ ist Basiswinkel in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck. Die Summe der Basiswinkel ist 90^o, also hat jeder Basiswinkel die Größe 45^o.

Die Schenkellänge des Dreiecks ist a, dann ist die Basis die Hypotenuse des Dreieck und hat nach dem Satz des Pythagoras die Länge $a\sqrt 2$. Es ist dann
$sin(45^o)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2}\sqrt 2$
$cos(45^o)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{a\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2}\sqrt 2$
$tan(45^o)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{a}{a}=1$

b,c) In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a

sind die Innenwinkel alle 60^o. Zeichnet man von C aus die Höhe auf die gegenüberliegende Seite ein, dann ist der Winkel zwischen der Höhe h und der Seite [AC] der halbe Innenwinkel, also 30^o.
Die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnet man mit dem Satz von Pythagoras
$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2=\frac{3a^2}{4}$, also $h=\sqrt 3 \cdot \frac{a}{2}$.
Damit hat man alle Seiten im Dreieck AFC. Es ist $\overline {AF} = \frac{a}{2}, \overline {AC} = a, \overline {FC} = \frac{a}{2} \sqrt 3$.
Der 30^o-Winkel ist der Winkel bei C mit den Schenkeln [CA] und [CF]. Die Gegenkathete ist [AF] und die Ankathete [FC].
Der 60^o-Winkel ist der Winkel unten links mit Scheitel A und den Schenkeln [AF] und [AC]. Die Gegenkathete ist [FC] und die Ankathete [AF].
In beiden Fälle ist [AC] die Hypotenuse.
Damit ist

$sin(30^o)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$
$cos(30^o)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{a}=\frac{\sqrt 3}{2}$
$tan(30^o)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}\sqrt 3}=\frac{1}{\sqrt 3}$

$sin(60^o)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{a}=\frac{\sqrt 3}{2}$
$cos(60^o)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$

$tan(60^o)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{\frac{a}{2}}=\sqrt 3$

  Aufgabe 9

Berechne mit dem Taschenrechner die Werte

a) sin(0⁰), sin(30^o), sin(45^o), sin(60^o), sin(90^o)
b) cos(0⁰), cos(30^o), cos(45^o), cos(60^o), cos(90^o)
c) tan(0⁰), tan(30^o), tan(45^o), tan(60^o), tan(90^o)

Vergleiche die Werte von sin(30^o), sin(45^o), sin(60^o), cos(30^o), cos(45^o), cos(60^o) mit den Werten von Aufgabe 7.

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Die Werte aus dieser Tabelle sind die gerundete Dezimalzahlen der Werte von Aufgabe 7.

Merke: Merke dir diese besonderen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte

  Aufgabe 10

Bearbeite die Aufgaben 5 bis 7 auf dieser Seite.

Suche dir in der gegebenen Figur immer ein rechtwinkliges Dreieck und bestimme zu dem gegebenen oder gesuchten Winkel wieder An- und Gegenkathete. Berechne dann die gesuchten Stücke.