Quelltext der Seite M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

__NOCACHE__
{{Merke|1=Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen

<math>sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}</math><br>
<math>cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}</math><br>
<math>tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}</math>  

die Unbekannte aus. }}

Buch S. 129 / 10

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:129-10.jpg|600px]]<br>
Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel <math>\beta</math> kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit <math>tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15}</math> den Winkel <math>\beta = 15^o</math>.<br>
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel <math>\alpha + \beta = 57^o</math> und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also <math>\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}</math>.<br>
Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist <math>x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m</math> }}


Buch S. 129 / 11

<ggb_applet height="300" width="800"
filename="129-11.ggb" />

{{Lösung versteckt|1=a)<br>
[[Datei:129-11 !.jpg]]<br>
Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des  Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist <math>tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1</math> und <math>\alpha = 5,7^o</math>


b) <math>tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25</math> und <math>\beta = 14^o</math>

c) <math>tan(\gamma)=\frac{3}{100}=0,03</math> und <math>\gamma = 1,7^o</math>

d) <math>tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12</math> und <math>\alpha = 6,8^o</math>  }}


Buch S. 129 / 13

{{Lösung versteckt|1=a) Angaben: Es ist <math>a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, a + b+ c = 75cm</math>.<br>
Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man <math>7,5 b = 75cm</math> und  <math>b = 10cm</math>.<br>
a = 40cm, b = 10cm, c = 25cm

<math>V = abc=10000cm^3 = 10dm^3</math> und <math>O = 2(ab+ac+bc)=2(400cm^2+1000cm^2+250cm^2)=3300cm^2 = 33dm^2</math>

b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man  mit dem Satz von Pythagoras <math>\overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{1700cm^2}=10\sqrt{17}cm\approx 41,2cm</math>

Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras <math>\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2+(25cm)^2}=\sqrt{2325cm^2} =5\sqrt{93}cm\approx48,2cm</math>

In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist <math>cos(\alpha)=\frac{10\sqrt{17}cm}{5\sqrt{93}cm}\approx 0,855</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math>

Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können. <br>
Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}cm}\approx 0,518</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}


Buch S. 132 / 4a

{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels <math>\alpha</math>.<br>
Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.<br>
[[Datei:132-4a.jpg]]<br>
Über die Winkelsumme kann man gleich <math>\beta = 25^o</math> bestimmen.<br>
Mit <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> erhält man <math>a=c\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot (65^o)=5,44cm</math>.<br>
Mit <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> erhält man <math>b=c\cdot cos(\alpha)=6cm\cdot cos(65^o)=2,54cm</math><br>
Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!<br>
Den Flächeninhalt A erhält man mit <math>A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2</math>.<br>
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist <math>r = \frac{1}{2}c = 3cm</math>. Damit ist <math>A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2</math>. }}


Buch S. 132 / 5

{{Lösung versteckt|1= Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!

[[Datei:132-5.jpg|thumb|Dreieck]]
 Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke, <math>\Delta</math>AFC und <math>\Delta</math>BFC.  
 Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!

a) Im Dreieck AFC ist gegeben: <math>\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o</math> und die Ankathete <math>c_1</math> von <math>\alpha</math>. Es ist <math>c_1= \frac{c}{2}=40cm</math><br>
Den Winkel <math>\alpha</math> erhält man über die Winkelsumme, <math>\alpha=180^o-90^o-42^o=48^o</math>.<br>
Die Seite b ist die Hypotenuse im Dreieck AFC. Dann ist <math>cos(\alpha)=\frac{c_1}{b}</math>. Diese Gleichung löst man nach b auf. Es ist <math>b=\frac{c_1}{cos(\alpha)}=\frac{40cm}{cos(48^o)}\approx60cm</math>.<br>
Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.<br>
Es ist im Dreieck AFC: <math>h=\overline{FC}=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{(60cm)^2-(40cm)^2}=\sqrt{2000cm^2}=20\sqrt 5 cm\approx45cm</math><br>
Dann ist <math>A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}20cm\cdot20\sqrt 5 cm=200\sqrt5 cm^2\approx447cm^2</math>

b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und <math>\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o</math> der Winkel bei C. <br>
Damit ist <math>\alpha=48^o</math>, <br>
<math>cos(\alpha)=\frac{c_1}{b} \rightarrow c_1=b\cdot cos(\alpha)=80cm\cdot cos(48^o)=53,5cm \rightarrow c = 2\cdot c_1 = 107cm</math><br>
<math>sin(\alpha)=\frac{h}{b} \rightarrow h = b\cdot sin(\alpha)=70cm \cdot sin(48^o)=59,5cm</math><br>
<math>A =\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 107cm \cdot 59,5cm = 3183,25cm^2 \approx 21dm^2</math>

c) Gegeben sind im Dreieck BFC die Hypotenuse a = 5,0cm und <math>\beta = \alpha = 47^o</math><br>
<math>c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}</math><br>
<math>cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm</math> ---> <math>c = 6,8cm</math><br>
<math>sin(\beta)=\frac{h}{a} \rightarrow h = a\cdot sin(\beta)=5cm \cdot sin(47^o)=3,7cm</math>.<br>
<math>A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2</math>.

d) Das Dreieck ist gleichschenklig, also ist dann a = b = 6cm und <math>\alpha = \beta = 60^o</math><br>
Wenn die zwei Basiswinkel jeweils 60<sup>o</sup> sind, dann ist auch <math>\gamma = 60^o</math>. Also ist das Dreieck sogar gleichseitig und c = 6cm. <br>
Der Flächeninhalt ist <math>A = \frac{1}{2}gh</math> mit <math>g = c = 6cm</math> und <math>h=\frac{c}{2}\sqrt 3=3\sqrt 3 cm</math>. Also ist <math>A=\frac{1}{2}\cdot 6cm \cdot 3\sqrt 3cm=9\sqrt 3cm^2 \approx 15,6 cm^2</math>. }}


Buch s. 132 / 6

{{Lösung versteckt|1=a)  Der Winkel ist als FOU ist 180<sup>o</sup> - 60<sup>o</sup> = 120<sup>o</sup> (F-Winkel).<br>
Damit kennt man alle Winkel und Seitenlänges des Parallelogramms. <br>
Die Höhe h des Parallelogramms ist <math>h = 4cm \cdot sin(60^o)= 4cm \cdot\frac{1}{2}\sqrt 3= 2\sqrt 3 cm\approx 3,46cm</math>. <br>
Der Flächeninhalt A ist <math>A = 6cm \cdot 2\sqrt 3cm = 12 \sqrt 3 cm^2 \approx 20,8cm^2</math> 

b)  Der Innenwinkel bei P ist 130<sup>o</sup> und bei A ist 110<sup>o</sup><br>
Die Höhe h des Trapezes ist <math>h = 4 cm \cdot sin(50^o) = 3,1cm</math>. <br>
Für den Flächeninhalt A benötigt man noch die Länge von c. Dazu macht man ein paar Hilfslinien in die Zeichnung.<br>
[[Datei:132-6b.jpg]]<br>
Es ist <math>cos(50^o) = \frac{a1}{4cm} \rightarrow a1=4cm\cdot cos(50^o) \approx 2,6cm</math><br>
<math>tan(70^o)=\frac{h}{a2} \rightarrow a2 =\frac{h}{tan(70^o)} =\frac{4cm sin(50^o)}{tan(70^o)} \approx 1,1cm</math><br>
Dann ist <math>c = a - a1-a2=6,5 cm - 2,6cm - 1,1cm = 2,8cm</math><br>
Der Flächeninhalt A ist <math>A=\frac{a+c}{2}\cdot h = \frac{6,5cm + 2,8cm }{2}\cdot 3,1cm = 14,4cm^2</math>.<br>
Für die Umfangslänge braucht man noch die Länge der Seite [RA]. Es ist <math>\overline {RA}=\sqrt{a2^2+h^2}=\sqrt{(1.1cm)^2+(3,1cm)^2}=3,3cm</math><br>
Die Umfangslänge u ist <math>u = 6,5 cm + 3,3cm + 2,8cm + 4cm = 16,6cm</math>. }}