M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

30px   Merke Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ $cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ $tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ die Unbekannte aus.

Buch S. 129 / 10

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Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel $\beta$ kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit $tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15}$ den Winkel $\beta = 15^o$.
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel $\alpha + \beta = 57^o$ und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also $\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}$.

Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist $x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=69,3m -12m =57,3m$

Buch S. 129 / 11

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a)

Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist $tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1$ und $\alpha = 5,7^o$

b) $tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25$ und $\beta = 14^o$

c) $tan(\gamma)=\frac{3}{100}=0,03$ und $\gamma = 1,7^o$

d) $tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12$ und $\alpha = 6,8^o$

Buch S. 129 / 13

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a) Angaben: Es ist $a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, 4(a + b+ c) = 75cm$.
Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man $30 b = 75cm$ und $b = 2,5cm$.
a = 10cm, b = 2,5cm, c = 6,25cm

$V = abc=156,25cm^3 = 10dm^3$ und $O = 2(ab+ac+bc)=2(25cm^2+62,5cm^2+15,625cm^2)=206,25cm^2$

b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man mit dem Satz von Pythagoras $\overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2}=\sqrt{106,25cm^2}\approx 10,32cm$

Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras $\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2+(6,25cm)^2}=\sqrt{145,3125cm^2} cm\approx12,05cm$

In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist $cos(\alpha)=\frac{10,32cm}{12,05cm}\approx 0,855$ und $\alpha = 31,2^o$

Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können.
Es ist $sin(\alpha)=\frac{6,25cm}{12,05cm}\approx 0,519$ und $\alpha = 31,2^o$

Es ist $tan(\alpha)=\frac{6,25cm}{10,32cm}\approx 0,606$ und $\alpha= 31,2^o$

Buch S. 132 / 4a

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Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels $\alpha$.
Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.

Über die Winkelsumme kann man gleich $\beta = 25^o$ bestimmen.
Mit $sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ erhält man $a=c\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot (65^o)=5,44cm$.
Mit $cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ erhält man $b=c\cdot cos(\alpha)=6cm\cdot cos(65^o)=2,54cm$
Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!
Den Flächeninhalt A erhält man mit $A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2$.

Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist $r = \frac{1}{2}c = 3cm$. Damit ist $A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2$.

Buch S. 132 / 5
Beachte: Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!

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Dreieck

Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke, $\Delta$AFC und $\Delta$BFC.  
Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!

a) Im Dreieck AFC ist gegeben: $\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o$ und die Ankathete $c_1$ von $\alpha$. Es ist $c_1= \frac{c}{2}=40cm$
Den Winkel $\alpha$ erhält man über die Winkelsumme, $\alpha=180^o-90^o-42^o=48^o$.
Die Seite b ist die Hypotenuse im Dreieck AFC. Dann ist $cos(\alpha)=\frac{c_1}{b}$. Diese Gleichung löst man nach b auf. Es ist $b=\frac{c_1}{cos(\alpha)}=\frac{40cm}{cos(48^o)}\approx60cm$.
Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.
Es ist im Dreieck AFC: $h=\overline{FC}=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{(60cm)^2-(40cm)^2}=\sqrt{2000cm^2}=20\sqrt 5 cm\approx45cm$
Dann ist $A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}80cm\cdot 20\sqrt 5 cm=800\sqrt5 cm^2\approx1789cm^2$

b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und $\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o$ der Winkel bei C.
Damit ist $\alpha=48^o$,
$cos(\alpha)=\frac{c_1}{b} \rightarrow c_1=b\cdot cos(\alpha)=80cm\cdot cos(48^o)=53,5cm \rightarrow c = 2\cdot c_1 = 107cm$
$sin(\alpha)=\frac{h}{b} \rightarrow h = b\cdot sin(\alpha)=70cm \cdot sin(48^o)=59,5cm$
$A =\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 107cm \cdot 59,5cm = 3183,25cm^2 \approx 21dm^2$

c) Gegeben sind im Dreieck BFC die Hypotenuse a = 5,0cm und $\beta = \alpha = 47^o$
$c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}$
$cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm$ ---> $c = 6,8cm$
$sin(\beta)=\frac{h}{a} \rightarrow h = a\cdot sin(\beta)=5cm \cdot sin(47^o)=3,7cm$.
$A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2$.

d) Das Dreieck ist gleichschenklig, also ist dann a = b = 6cm und $\alpha = \beta = 60^o$
Wenn die zwei Basiswinkel jeweils 60^o sind, dann ist auch $\gamma = 60^o$. Also ist das Dreieck sogar gleichseitig und c = 6cm.

Der Flächeninhalt ist $A = \frac{1}{2}gh$ mit $g = c = 6cm$ und $h=\frac{c}{2}\sqrt 3=3\sqrt 3 cm$. Also ist $A=\frac{1}{2}\cdot 6cm \cdot 3\sqrt 3cm=9\sqrt 3cm^2 \approx 15,6 cm^2$.

Buch S. 132 / 6
Tipp: Zeichne dir Hilfslinien in die Zeichnung, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erhältst.

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a) Der Winkel ist als FOU ist 180^o - 60^o = 120^o (F-Winkel).
Damit kennt man alle Winkel und Seitenlänges des Parallelogramms.
Die Höhe h des Parallelogramms ist $h = 4cm \cdot sin(60^o)= 4cm \cdot\frac{1}{2}\sqrt 3= 2\sqrt 3 cm\approx 3,46cm$.
Der Flächeninhalt A ist $A = 6cm \cdot 2\sqrt 3cm = 12 \sqrt 3 cm^2 \approx 20,8cm^2$

b) Der Innenwinkel bei P ist 130^o und bei A ist 110^o
Die Höhe h des Trapezes ist $h = 4 cm \cdot sin(50^o) = 3,1cm$.
Für den Flächeninhalt A benötigt man noch die Länge von c. Dazu macht man ein paar Hilfslinien in die Zeichnung.

Es ist $cos(50^o) = \frac{a1}{4cm} \rightarrow a1=4cm\cdot cos(50^o) \approx 2,6cm$
$tan(70^o)=\frac{h}{a2} \rightarrow a2 =\frac{h}{tan(70^o)} =\frac{4cm sin(50^o)}{tan(70^o)} \approx 1,1cm$
Dann ist $c = a - a1-a2=6,5 cm - 2,6cm - 1,1cm = 2,8cm$
Der Flächeninhalt A ist $A=\frac{a+c}{2}\cdot h = \frac{6,5cm + 2,8cm }{2}\cdot 3,1cm = 14,4cm^2$.
Für die Umfangslänge braucht man noch die Länge der Seite [RA]. Es ist $\overline {RA}=\sqrt{a2^2+h^2}=\sqrt{(1.1cm)^2+(3,1cm)^2}=3,3cm$

Die Umfangslänge u ist $u = 6,5 cm + 3,3cm + 2,8cm + 4cm = 16,6cm$.