Quelltext der Seite M9 Scheitelform

Die Funktionsgleichung <math>f(x)=a\cdot (x+d)^2+e</math> ist die Scheitelform einer quadratischen Funktion. <br>
Aus dieser Darstellung kann man leicht die Koordinaten des Scheitels S ablesen, es ist S(-d,e).
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Meistens wird der Funktionsterm einer quadratischen Funktion aber als <math>a x^2 + bx + c</math> angegeben. Wie schon bei der pq-Formel kann man diesen Term mittels quadratischer Ergänzung auf die Scheitelform bringen.<br>
1. Zuerst klammert man a aus den x-Gliedern aus.<br>
Es ist <math>a x^2 + bx + c = a(x^2+\frac{b}{a}x) + c</math><br>
2. Nun ergänzt man den Term in der Klammer <math>x^2+\frac{b}{a}x</math> mit Hilfe der binomischen Formel zu einem Quadrat.
Es ist  <math>x^2+\frac{b}{a}x = x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 -  (\frac{b}{2a})^2 = (x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2</math><br>
3. Dies verwendet man in dem Term aus 1.<br>
<math>a x^2 + bx + c = a(x^2+\frac{b}{a}x) + c = a[(x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2] + c</math><br>
4. Nun formt man den Term noch so um, dass man die Scheitelform erhält.<br>
Dazu multipliziert man a in die eckige Klammer hinein<br>
<math>a[(x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2] + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 -a(\frac{b}{2a})^2 + c=a(x+\frac{b}{2a})^2 -a\cdot\frac{b^2}{4a^2} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a} + c </math><br>
Dies ist die Scheitelform und man kann die Scheitelkoordinaten ablesen: <math>S(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2}{4a} + c)</math>.

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