M9 Scheitelform

Die Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot (x+d)^2+e$ ist die Scheitelform einer quadratischen Funktion.
Aus dieser Darstellung kann man leicht die Koordinaten des Scheitels S ablesen, es ist S(-d,e).

Meistens wird der Funktionsterm einer quadratischen Funktion aber als $a x^2 + bx + c$ angegeben. Wie schon bei der pq-Formel kann man diesen Term mittels quadratischer Ergänzung auf die Scheitelform bringen.
1. Zuerst klammert man a aus den x-Gliedern aus.
Es ist $a x^2 + bx + c = a(x^2+\frac{b}{a}x) + c$
2. Nun ergänzt man den Term in der Klammer $x^2+\frac{b}{a}x$ mit Hilfe der binomischen Formel zu einem Quadrat. Es ist $x^2+\frac{b}{a}x = x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = (x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2$
3. Dies verwendet man in dem Term aus 1.
$a x^2 + bx + c = a(x^2+\frac{b}{a}x) + c = a[(x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2] + c$
4. Nun formt man den Term noch so um, dass man die Scheitelform erhält.
Dazu multipliziert man a in die eckige Klammer hinein
$a[(x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2] + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 -a(\frac{b}{2a})^2 + c=a(x+\frac{b}{2a})^2 -a\cdot\frac{b^2}{4a^2} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a} + c$
Dies ist die Scheitelform und man kann die Scheitelkoordinaten ablesen: $S(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2}{4a} + c)$.