Quelltext der Seite Umkehrfunktion Definitions- und Wertemenge

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Im letzten Beispiel war nicht eindeutig, wie man die umgekehrte Zuordnung machen soll. 

<center>[[Bild:Funktion_umkf_bspl_5a.jpg]]</center>

Man entscheidet sich für einen Weg, entweder nach links oder nach rechts. Wir gehen nach rechts und ignorieren den linken Teil der Parabel.

<center>[[Bild:Funktion_umkf_bspl_5b.jpg]]</center>

Wir gehen davon aus, dass als Werte nur nicht negative Zahlen in Betracht kommen. Dies schränkt die Definitionsmenge der Funktions <math> f : x \rightarrow x^2</math> ein. Es ist dann <math>D = R^+_0</math>. 

<center>[[Bild:Funktion_umkf_bspl_5c.jpg]]</center>

Mit dieser Einschränkung der Definitionsmenge ist die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig und damit eine Funktion.

Alle Potenzfunktionen sind für <math>x \in R</math> definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für <math>x \in R^-</math> umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. 

Hat man die Definitionsmenge <math>D</math> der Funktion <math>f</math> so eingeschränkt, dass die Umkehrung eine Funktion ist, dann gilt für die Definitionsmenge <math>D^{-1}</math> und Wertemenge <math>W^{-1}</math> der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>:

<center><math>D^{-1}</math> = <math>W</math> und <math>W^{-1}</math> = <math>D</math>.</center>



<center>
{| border="1" cellspacing="0"  valign="top"
| width="5%" | 
| width="5%" | Funktion <math>f</math>
| width="5%" | Funktion <math>f^{-1}</math>
|-valign="top"
| Definitionsmenge
| <math>D</math>
| <math>W</math>
|-valign="top"
| Wertemenge
| <math>W</math>
| <math>D</math>
|}
</center>
Dabei sind <math>D</math> und <math>W</math> die Definitions- und Wertemenge der eingeschränkten Funktion <math>f</math>.

{{Aufgabe|
Gib für die Funktion <br>
a) <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}+1</math><br> 
b) <math> f: x \rightarrow 2 - x^2</math> <br>
die Definitions- und Wertemenge an und bestimme die Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertemenge.
}}

{{Lösung versteckt|Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> ist in der Lösung mit <math> g </math> bezeichnet.

a) Für die Funktion <math>f</math> ist <math> D = R \setminus \{ 0\}</math> und <math>W = R \setminus \{ 1\}</math>.

[[Bild:Funktion_umkf_bspl_3.jpg]]

<math> y = \frac{1}{x}+1 \Longrightarrow x = \frac{1}{y}+1 \Longrightarrow y = \frac{1}{x-1}</math>, also <math>f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{x-1}</math>.

Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = R \setminus \{ 1\}</math> und <math>W^{-1} = R \setminus \{ 0\}</math>.

b) Die Funktion <math>f</math> muss man einschränken. Man nimmt den rechten Ast <math>x \in [0; \infty[</math>. 

Für die Funktion <math>f</math> ist <math> D = [0; \infty[</math> und <math>W = ]-\infty;2]</math>.

[[Bild:Funktion_umkf_bspl_6.jpg]]

<math> y = 2 - x^2 \Longrightarrow x = 2 - y^2 \Longrightarrow y = \sqrt{2-x}</math>, also also <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt{2-x})</math>.

Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = ]-\infty;2]</math> und <math>W^{-1} = [0; \infty[</math>.
}}



Ein einfaches Kriterium,wie man feststellt, dass eine Funktion <math> f</math> umkehrbar ist, ist das [[Umkehrfunktion_Monotinie|Monotoniekriterium]] .




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