Umkehrfunktion Definitions- und Wertemenge

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Im letzten Beispiel war nicht eindeutig, wie man die umgekehrte Zuordnung machen soll.

Man entscheidet sich für einen Weg, entweder nach links oder nach rechts. Wir gehen nach rechts und ignorieren den linken Teil der Parabel.

Wir gehen davon aus, dass als Werte nur nicht negative Zahlen in Betracht kommen. Dies schränkt die Definitionsmenge der Funktions $f : x \rightarrow x^2$ ein. Es ist dann $D = R^+_0$.

Mit dieser Einschränkung der Definitionsmenge ist die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig und damit eine Funktion.

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R^-$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht.

Hat man die Definitionsmenge $D$ der Funktion $f$ so eingeschränkt, dass die Umkehrung eine Funktion ist, dann gilt für die Definitionsmenge $D^{-1}$ und Wertemenge $W^{-1}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$:

$D^{-1}$ = $W$ und $W^{-1}$ = $D$.

	Funktion $f$	Funktion $f^{-1}$
Definitionsmenge	$D$	$W$
Wertemenge	$W$	$D$

Dabei sind $D$ und $W$ die Definitions- und Wertemenge der eingeschränkten Funktion $f$.

  Aufgabe Gib für die Funktion

a) $f: x \rightarrow \frac{1}{x}+1$
b) $f: x \rightarrow 2 - x^2$
die Definitions- und Wertemenge an und bestimme die Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertemenge.

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Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ist in der Lösung mit $g$ bezeichnet.

a) Für die Funktion $f$ ist $D = R \setminus \{ 0\}$ und $W = R \setminus \{ 1\}$.

$y = \frac{1}{x}+1 \Longrightarrow x = \frac{1}{y}+1 \Longrightarrow y = \frac{1}{x-1}$, also $f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{x-1}$.

Die Umkehrfunktion $g$ hat $D^{-1} = R \setminus \{ 1\}$ und $W^{-1} = R \setminus \{ 0\}$.

b) Die Funktion $f$ muss man einschränken. Man nimmt den rechten Ast $x \in [0; \infty[$.

Für die Funktion $f$ ist $D = [0; \infty[$ und $W = ]-\infty;2]$.

$y = 2 - x^2 \Longrightarrow x = 2 - y^2 \Longrightarrow y = \sqrt{2-x}$, also also $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt{2-x})$.

Die Umkehrfunktion $g$ hat $D^{-1} = ]-\infty;2]$ und $W^{-1} = [0; \infty[$.

Ein einfaches Kriterium,wie man feststellt, dass eine Funktion $f$ umkehrbar ist, ist das Monotoniekriterium .

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