Umkehrfunktion Monotonie

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Merke Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".

  Aufgabe 1

Teste dein Wissen über die Definition der Monotonie auf dieser Seite.

Merke Ist eine Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.

  Aufgabe 2

Betrachte nun die Quadratfunktion $f: x\rightarrow x^2$ mit $D = R$.

1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?

2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?

3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.

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1. Die Quadratfunktion ist im Intervall $]-\infty;0]$ streng monoton abnehmend und im Intervall $[0;\infty[$ streng monoton zunehmend.

2. Der linke Ast ist für $x \in ]-\infty;0]$ umkehrbar
. Der rechte Ast ist für $x \in [0;\infty[$ auch umkehrbar.

3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion $f$ eingeschränkt mit $D = R^-_0$ und $W = R^+_0$.
Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}:x \rightarrow -\sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^-_0$.

3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion $f$ eingeschränkt mit $D = R^+_0$ und $W = R^+_0$
Die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \rightarrow \sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^+_0$.

  Aufgabe 3

Betrachte nun die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^3$.

1. Gib Definitions- und Wertemenge an.

2. Zeichne den Graphen der Funktion $f$.

3. Wo ist die Funktion streng monoton?

4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.

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1. $D = R$, $W = R$

2.

3. F ist streng monoton zunehmend in ganz $R$.

4. $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x$ mit $D^{-1} = R$, $W^{-1} = R$

Merke 1. Potenzfunktionen $f: x \rightarrow x^n$ mit ungeraden Exponenten $n$ sind in $R$ umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x$ mit $D^{-1} = R$, $W^{-1} = R$. 2. Potenzfuntkionen $f: x \rightarrow x^n$ mit geraden Exponenten $n$ sind in $R$ nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf $R^+_0$. Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x$ mit $D^{-1} = R^+_0$, $W^{-1} = R^+_0$.

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