Quelltext der Seite M11 Ableitung der Exponentialfunktionen

{{Aufgaben-blau|Zur Wiederholung|2= 1. [[M10_Die_Exponentialfunktion|Die Exponentialfunktion]]

2. [[M10_Eigenschaften_der_Exponentialfunktion|Eigenschaften der Exponentialfunktion]]

3. [[M10_Verschieben_und_Spiegeln_der_Exponentialkurven|Verschieben und Spiegeln der Exponentialfunktion]] }}

{{Merksatz|MERK=Die Funktion <math>f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x</math>  (b ∈ R+\{0}, a ∈ R<sup>+</sup>)  heißt '''Exponentialfunktion zur Basis a'''. 
<center>[[Datei:Exponentialfunktion 1.jpg|350px]]</center>
Der Graph ist eine Exponentialkurve. }}

Für die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a geht man auf die Definition zurück:<br>
<math>f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}=\lim_{h\to 0} b^x \cdot \frac{b^h -1}{h}=b^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{b^h - 1}{h}</math>.<br>
Löst man die Gleichung <math>\lim_{h\to 0} \frac{b^h - 1}{h}=1</math> nach b auf, so erhält man <math>b = \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}</math>. Wenn <math> h \to 0</math> ist, dann ist <math> n = \frac{1}{h}\to \infty</math> und man kann mittels einer Tabellenkalkulation den Grenzwert <math>\lim_{n\to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 ...</math> berechnen.<br> Dieser Grenzwert wird als Eulersche Zahl e bezeichnet. Es ist e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 ... .

<center>{{#ev:youtube |4zKwqdfuRz4|350}}</center>


{{Merksatz|MERK=Die Eulersche Zahl e ist definiert durch den Grenzwert <math>\lim_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h}=1</math>.  

Dies hat zur Folge, dass die Exponentialfunktion zur Basis e <math>f:x\to e^x</math> mit D = R und W = R<sup>+</sup> die Ableitung<br>
<center><math> f'(x)= e^x</math>  oder <math>(e^x)' = e^x</math> </center> 
hat.

Jede Funktion <math>F: x \to e^x + C</math> ist Stammfunktion von <math>f</math>.

Die Gleichung <math>e^x = a</math> hat die Lösung <math>x = ln(a)</math>. Dabei ist <math>ln</math> der Logarithmus zur Basis e und heißt '''natürlicher Logarithmus'''.


Mit <math>a^x = e^{x \cdot ln(a)}</math> und der Kettenregel erhält man <br>
<center><math> (a^x)' = ln(a) \cdot a^x</math>.</center>  }}

{{Merke|1=Eigenschaften der e-Funktion (natürliche Exponentialfunktion) <math>f:x \rightarrow e^x</math> [[Datei:e-funktion.jpg|thumb|350px]]

* D = R, W = R<sup>+</sup><br>

* e<sup>x</sup> > 0

* Der Graph geht durch den Punkt (0;1)<br>

* f(1) = e

* Der Graph der e-Funktion ist streng montoton steigend. 

* Die negative x-Achse ist Asymptote.  

* Für <math>x \to \infty</math> ist <math>e^x \to \infty</math>}}



{{Aufgaben-blau|1|2=Bestimmen Sie die erste Ableitung<br>
a) <math>f(x) = e^{2x}</math><br>
b) <math>f(x) = e^{x+1}</math><br>
c) <math>f(x) = e^{-3x}</math><br>
d) <math>f(x) = e^{sin(x)}</math><br>
e) <math>f(x) = 6e^{1-0,5x}</math><br>
f) <math>f(x) = xe^{x}</math><br>
g) <math>f(x) = x + \sqrt x</math><br>
h) <math>f(x) = \sqrt {e^x}</math><br>
i) <math>f(x) = e^{\sqrt x}</math><br>
j) <math>f(x) = (1-x)e^{2x}</math><br>
k) <math>f(x) = (x^2 + 1)e^{0,5x}</math><br>
l) <math>f(x) = \frac{x^2}{e^2}</math><br>
m) <math>f(x) = \frac{1}{e^x + 1}</math><br>
n) <math>f(x) = (x + e^x)^2</math><br>
o) <math>f(x) = e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2}</math><br>
p) <math>f(x) = e^{2x}</math><br>
q) <math>f(x) = x \cdot 10^x</math><br>
r) <math>f(x) = \sqrt {5^x} + x^5</math><br>
s) <math>f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}</math><br>
t) <math>f(x) = \frac{e^x -1}{e^x + 1}</math><br>
u) <math>f(x) = x^2 \cdot 3^{3x}</math><br>
v) <math>f(x) = x^3 + x^2</math><br>
w) <math>f(x) = x + sin(x)</math><br>
x) <math>f(x) = |x-1|</math> }}

{{Lösung versteckt|1= Beachten Sie die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel. <br>
a) <math>f'(x) = 2e^{2x}</math><br>
b) <math>f'(x) = e^{x+1}</math><br>
c) <math>f'(x) = -3e^{-3x}</math><br>
d) <math>f'(x) = cos(x)\cdot e^{sin(x)}</math><br>
e) <math>f'(x) = -3e^{1-0,5x}</math><br>
f) <math>f'(x) = e^{x} + x e^x = (x+1)e^x</math><br>
g) <math>f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt x}</math><br>
h) <math>f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt {e^x}}=\frac{1}{2}e^x</math><br>
Dies hätte man auch erhalten, wenn man <math>f(x) = \sqrt {e^x}= (e^x)^{\frac{1}{2}}</math> ableitet.<br>
i) <math>f'(x) = e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt x} =\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}</math><br>
j) <math>f'(x) = -1e^{2x} + 2(1-x)e^{2x}=(1-2x)e^{2x}</math><br>
k) <math>f'(x) = 2x e^{0,5x} + 0,5(x^2 + 1)e^{0,5x}=(0,5x^2 + 2x +0,5)e^{0,5x}</math><br>
l) <math>f'(x) = \frac{2x}{e^2} </math> -  Beachte e<sup>2</sup> ist eine Zahl und hier steht keine Exponentialfunktion!<br>
m) <math>f'(x) = \frac{-e^x}{(e^x + 1)^2}</math><br>
n) <math>f'(x) = 2(x + e^x)(1+e^x)</math><br>
o) <math>f'(x) = (e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2})=e^1 = 0</math><br>
p) <math>f(x) = 2e^{2x}</math><br>
q) <math>f'(x) =  1\cdot 10^x + x \cdot 10^x \cdot ln(10) = 10^x (1 + ln(10)x)</math><br>
r) <math>f'(x) = (\sqrt {5^x} + x^5)'=(5^{\frac{x}{2}} + x^5)' = (e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + x^5)'=\frac{ln(5)}{2 }e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + 5x^4=\frac{ln(5)}{2}\sqrt {5^x} + 5x^4 </math><br>
s) <math>f'(x) = \frac{2x\cdot(x^2+1)-2x\cdot (x^2-1)}{(x^2 + 1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}</math><br>
t) <math>f'(x) = \frac{e^x(e^x+1)- e^x(e^x-1)}{(e^x + 1)^2}=\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}</math><br>
u) <math>f'(x) = 2x \cdot e^{3x}+3x^2e^{3x}</math><br>
v) <math>f'(x) = 3x^2 + 2x</math><br>
w) <math>f(x) = 1 + cos(x)</math><br>
x) <math>f(x) = |x-1|</math> <br>
Bei x = 1 hat die Funktion einen Knick. Für x < 1 ist f(x) = -x + 1 und f'(x) = -1; für x < 1 ist f(x) = x -1 und f'(x) = 1.}}

{{Aufgaben-blau|2|2=Ordnen Sie dem Term f(x) eine passende Stammfunktion F(x) zu bzw. umkehrt der Stammfunktion F(x) eine passende Funktion f(x). }}

<div class="zuordnungs-quiz">
{| 
| <math>f(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x}</math> || <math>F(x) = (e^x + e^{-x})^2</math> 
|-
| <math>f(x) = 1-\frac{1}{e^x}</math> || <math>F(x) = x + e^{-x}</math>
|-
| <math> f(x) = e^2 \cdot e^x</math> || <math>F(x) = e^{x+2}</math>
|-
| <math>f(x) = 3x^2 + e^{3x}</math> || <math>F(x) = x^3 + \frac{1}{3}e^{3x}</math>
|}
</div>

{{Aufgaben-blau|3|2=Geben Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktion f an<br>
a) f(x) = e<sup>x</sup> + 1<br>
b) f(x) = e<sup>-x</sup><br>
c) f(x) = 0,5(e<sup>x</sup> + e<sup>-x</sup>)<br>
d) f(x) = x + 2 + e<sup>x+2</sup><br>
e) f(x) = e<sup>1+x</sup><br>
f) f(x) = e<sup>0,5x</sup> }}

{{Lösung versteckt|1=a) F(x) = e<sup>x</sup> + x + C<br>
b) F(x) = -e<sup>-x</sup> + C<br>
c) F(x) = 0,5(e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup>) + C<br>
d) F(x) = 0,5x<sup>2</sup> + 2x + e<sup>x+2</sup> + C<br>
e) F(x) = e<sup>1+x</sup> + C<br>
f) F(x) = 2e<sup>0,5x</sup> + C  }}

<center>{{#ev:youtube |io11cbrTTNg|350}}</center>