M11 Ableitung der Exponentialfunktionen

30px   Aufgabe Zur Wiederholung

1. Die Exponentialfunktion

2. Eigenschaften der Exponentialfunktion

3. Verschieben und Spiegeln der Exponentialfunktion

Merke: Die Funktion $f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x$ (b ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Der Graph ist eine Exponentialkurve.

Für die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a geht man auf die Definition zurück:
$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}=\lim_{h\to 0} b^x \cdot \frac{b^h -1}{h}=b^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{b^h - 1}{h}$.
Löst man die Gleichung $\lim_{h\to 0} \frac{b^h - 1}{h}=1$ nach b auf, so erhält man $b = \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}$. Wenn $h \to 0$ ist, dann ist $n = \frac{1}{h}\to \infty$ und man kann mittels einer Tabellenkalkulation den Grenzwert $\lim_{n\to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 ...$ berechnen.
Dieser Grenzwert wird als Eulersche Zahl e bezeichnet. Es ist e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 ... .

Merke: Die Eulersche Zahl e ist definiert durch den Grenzwert $\lim_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h}=1$. Dies hat zur Folge, dass die Exponentialfunktion zur Basis e $f:x\to e^x$ mit D = R und W = R+ die Ableitung $f'(x)= e^x$ oder $(e^x)' = e^x$ hat. Jede Funktion $F: x \to e^x + C$ ist Stammfunktion von $f$. Die Gleichung $e^x = a$ hat die Lösung $x = ln(a)$. Dabei ist $ln$ der Logarithmus zur Basis e und heißt natürlicher Logarithmus. Mit $a^x = e^{x \cdot ln(a)}$ und der Kettenregel erhält man $(a^x)' = ln(a) \cdot a^x$.

30px   Merke Eigenschaften der e-Funktion (natürliche Exponentialfunktion) $f:x \rightarrow e^x$ D = R, W = R+ ex > 0 Der Graph geht durch den Punkt (0;1) f(1) = e Der Graph der e-Funktion ist streng montoton steigend. Die negative x-Achse ist Asymptote. Für $x \to \infty$ ist $e^x \to \infty$

30px   Aufgabe 1

Bestimmen Sie die erste Ableitung
a) $f(x) = e^{2x}$
b) $f(x) = e^{x+1}$
c) $f(x) = e^{-3x}$
d) $f(x) = e^{sin(x)}$
e) $f(x) = 6e^{1-0,5x}$
f) $f(x) = xe^{x}$
g) $f(x) = x + \sqrt x$
h) $f(x) = \sqrt {e^x}$
i) $f(x) = e^{\sqrt x}$
j) $f(x) = (1-x)e^{2x}$
k) $f(x) = (x^2 + 1)e^{0,5x}$
l) $f(x) = \frac{x^2}{e^2}$
m) $f(x) = \frac{1}{e^x + 1}$
n) $f(x) = (x + e^x)^2$
o) $f(x) = e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2}$
p) $f(x) = e^{2x}$
q) $f(x) = x \cdot 10^x$
r) $f(x) = \sqrt {5^x} + x^5$
s) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
t) $f(x) = \frac{e^x -1}{e^x + 1}$
u) $f(x) = x^2 \cdot 3^{3x}$
v) $f(x) = x^3 + x^2$
w) $f(x) = x + sin(x)$
x) $f(x) = |x-1|$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Beachten Sie die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel.
a) $f'(x) = 2e^{2x}$
b) $f'(x) = e^{x+1}$
c) $f'(x) = -3e^{-3x}$
d) $f'(x) = cos(x)\cdot e^{sin(x)}$
e) $f'(x) = -3e^{1-0,5x}$
f) $f'(x) = e^{x} + x e^x = (x+1)e^x$
g) $f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt x}$
h) $f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt {e^x}}=\frac{1}{2}e^x$
Dies hätte man auch erhalten, wenn man $f(x) = \sqrt {e^x}= (e^x)^{\frac{1}{2}}$ ableitet.
i) $f'(x) = e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt x} =\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}$
j) $f'(x) = -1e^{2x} + 2(1-x)e^{2x}=(1-2x)e^{2x}$
k) $f'(x) = 2x e^{0,5x} + 0,5(x^2 + 1)e^{0,5x}=(0,5x^2 + 2x +0,5)e^{0,5x}$
l) $f'(x) = \frac{2x}{e^2}$ - Beachte e² ist eine Zahl und hier steht keine Exponentialfunktion!
m) $f'(x) = \frac{-e^x}{(e^x + 1)^2}$
n) $f'(x) = 2(x + e^x)(1+e^x)$
o) $f'(x) = (e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2})=e^1 = 0$
p) $f(x) = 2e^{2x}$
q) $f'(x) = 1\cdot 10^x + x \cdot 10^x \cdot ln(10) = 10^x (1 + ln(10)x)$
r) $f'(x) = (\sqrt {5^x} + x^5)'=(5^{\frac{x}{2}} + x^5)' = (e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + x^5)'=\frac{ln(5)}{2 }e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + 5x^4=\frac{ln(5)}{2}\sqrt {5^x} + 5x^4$
s) $f'(x) = \frac{2x\cdot(x^2+1)-2x\cdot (x^2-1)}{(x^2 + 1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$
t) $f'(x) = \frac{e^x(e^x+1)- e^x(e^x-1)}{(e^x + 1)^2}=\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$
u) $f'(x) = 2x \cdot e^{3x}+3x^2e^{3x}$
v) $f'(x) = 3x^2 + 2x$
w) $f(x) = 1 + cos(x)$
x) $f(x) = |x-1|$

Bei x = 1 hat die Funktion einen Knick. Für x < 1 ist f(x) = -x + 1 und f'(x) = -1; für x < 1 ist f(x) = x -1 und f'(x) = 1.

30px   Aufgabe 2

Ordnen Sie dem Term f(x) eine passende Stammfunktion F(x) zu bzw. umkehrt der Stammfunktion F(x) eine passende Funktion f(x).

$f(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x}$	$F(x) = (e^x + e^{-x})^2$
$f(x) = 1-\frac{1}{e^x}$	$F(x) = x + e^{-x}$
$f(x) = e^2 \cdot e^x$	$F(x) = e^{x+2}$
$f(x) = 3x^2 + e^{3x}$	$F(x) = x^3 + \frac{1}{3}e^{3x}$

30px   Aufgabe 3

Geben Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktion f an
a) f(x) = e^x + 1
b) f(x) = e^-x
c) f(x) = 0,5(e^x + e^-x)
d) f(x) = x + 2 + e^x+2
e) f(x) = e^1+x
f) f(x) = e^0,5x

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) F(x) = e^x + x + C
b) F(x) = -e^-x + C
c) F(x) = 0,5(e^x - e^-x) + C
d) F(x) = 0,5x² + 2x + e^x+2 + C
e) F(x) = e^1+x + C

f) F(x) = 2e^0,5x + C