M10 Die Exponentialfunktion

Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form $y = b \cdot a^x$. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.

Merke: Die Funktion $f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x$ (b ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Der Graph ist eine Exponentialkurve.

  Aufgabe 1

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1. Wieso darf man für die Basis a nur positive reelle Zahlen verwenden?
2. Wie unterscheiden sich die Graphen, wenn a > 1 bzw. a < 1 ist?
3. Welchen Punkt haben alle Graphen der Exponentialfunktionen $f:x \rightarrow a^x$ gemeinsam?
4. Was ist die Funktion $f:x \rightarrow 1^x$?

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Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann.
Wenn a=0 wäre, was ist dann 0^{^0} oder 0^-1?
0⁰ ist nicht definiert, ebenso wäre $0^{-1}=\frac{1}{0^1}=\frac{1}{0}$ ein nicht definierter Term.
Wenn a eine negative Zahl wäre, z.B. a = -2, was ist dann $a^0,5$?
Für a = -2 hätte man den Term $(-2)^0,5=\sqrt {-2}$, was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert.

2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend.

3. Alle Graphen haben den Punkt (0;1) gemeinsam.

4. Es ist $1^x=1$, daher ist diese Funktion die konstante 1, also die Funktion, die jedem x fir Zahl 1 zuordnet.

Merke Bei einem Funktionsgraphen geht man bei der Betrachtung immer in x-Richtung von links nach rechts, d.h. die x-Werte nehmen zu, sie werden größer. Ein Graph ist streng monoton fallend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte kleiner werden. Der Graph ist streng monoton steigend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte größer werden. Beim grünen Graphen werden die y-Werte immer größer, wenn die x-Werte auch größer werden, der grüne Graph ist streng monoton steigend, beim roten Graphen werden die y-Werte immer kleiner, wenn die x-Werte größer werden (man geht von links nach rechts), der rote Graph ist streng monoton fallend.

  Aufgabe 2

Im folgenden Applet kannst du den Wert der Basis mit dem Schieberegler variieren.

Für welche Werte der Basis a der Exponentialfunktion $f:x \rightarrow a^x$ ist der Graph strent monoton fallend bzw. streng monoton steigend?

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Für 0 < a < 1 ist der Graph streng monoton fallend, für 1 < a ist er streng monton steigend.

  Aufgabe 3

Im Exponenten der Potenz einer Exponentialfunktion stehen reelle Zahlen. Dies bedeutet, dass im Exponenten auch Brüche, Dezimalzahlen, Wurzeln, ... stehen können. Um mit diesen Potenzen zu rechnen braucht man die Potenzgesetze.

Zum Wiederholen und Üben der Potenzgesetze: Potenzgesetze, Aufgaben 1, Aufgaben 2

Aufgabe: Berechne ohne TR
a) $(-3)^2 ; (-2)^3 ; 3^{-2} ; 2^{-3} ; \left ( \frac{1}{2} \right )^{-5}; 10^{-1}; 10^{-2}; 0,1^{-3};0^3 ; 3^0 ; \left ( \frac{1}{2} \right )^0$

b) $25^{\frac{1}{2}} ; 25^{-\frac{1}{2}}; 9^{\frac{3}{2}}; 0,125^{\frac{1}{3}}; 0,125^{-\frac{2}{3}}; 4^{0,5}; 32^{0,2};16^{0,75}; 1024^{0,7}$

c) Warum sind bei Potenzen mit Brüchen als Exponenten für die Basis nur positive Zahlen zulässig?

Berechne ohne TR
d) 2³·2^-1
e) $9^{\frac{5}{4}} \cdot 9^{\frac{1}{4} }$
f) $0,25 \cdot 0,25^{-1,5}$
g) $36^{\frac{2}{3}} : 36{\frac{1}{6}}$
h) $5^{-\frac{1}{2}} : 5^{\frac{1}{2}}$
i) $32^{-0,7}:32^{-0,3}$
k) $(49^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}$
l) $(4^{\frac{5}{3}})^{-\frac{3}{2}}$
m) $(27^{-\frac{4}{5}})^{-\frac{5}{6}}$
n) $(3^2 - 2^3)^{-2}$
o) $(2^{-1} + 4^{-1})^{-1}$
p) $(2^{\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{2}})^2$

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a) $(-3)^2 = 9; (-2)^3 = -8; 3^{-2} = \frac{1}{9}; 2^{-3} = \frac{1}{8}; \left ( \frac{1}{2} \right )^{-5}=(2^{-1})^{-5}=2^5=32; 10^{-1}=\frac{1}{10}; 10^{-2}=\frac{1}{100}; 0,1^{-3}=1000;$
$0^3 = 0; 3^0 = 1; \left ( \frac{1}{2} \right )^0 = 1$

b) $25^{\frac{1}{2}}=\sqrt 25 = 5; 25^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}=0,2; 9^{\frac{3}{2}}=27; 0,125^{\frac{1}{3}}=0,5; 0,125^{-\frac{2}{3}}=4; 4^{0,5}=\sqrt 4 = 2; 32^{0,2}=32^{\frac{1}{5}}=\sqrt [5] {32}=2;$
$16^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=2^3=8; 1024^{0,7}=1024^{\frac{7}{10}}=2^7=128$

c) Ein Bruch als Exponent ist z.B. $\frac{1}{2}$. Dies bedeutet, dass man aus der Basis die Wurzel zieht. Unter der Wurzel darf aber keine negative Zahl stehen, also darf die Basis nicht negativ sein. Die Basis ist deshalb positiv oder 0.

d) ... = 4
e) $...=9^{\frac{3}{2}}=27$
f) ... = 0,25^-0,5 = 0,5^-1 = 2
g) $... = 36^{\frac{1}{2}}=6$
h) ... = 5^-1 = 0,2
i) ... 32^-0,4 = $32^{-\frac{2}{5}}=2^{-2}=\frac{1}{4}=0,25$
k) $... = 49^{\frac{1}{2}}=\sqrt {49}=7$
l) $... = 4^{-\frac{5}{2}}=2^{-5}=\frac{1}{32}$
m) $... = 27^{\frac{2}{3}}=3^2=9$
n) ... = (9 - 4)^-2 = 5^-2 = 0,04
o) $... = \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right )^{-1} = \left ( \frac{3}{4} \right ) ^{-1} = \frac{4}{3}$

p) $... = \left ( \sqrt 2 + \frac{1}{\sqrt 2} \right )^2 = \left ( \frac{2 + \sqrt 2}{2} \right )^2=\frac{4+4\sqrt 2 + 2}{4}=1,5 + \sqrt 2$

  Aufgabe 4

Es geht um die Exponentialfunktion $f$ mit $f(x) = 2^x$.
a) Lege eine dreizeilige Wertetabelle an. Schreibe in die erste Zeile die x-Werte von - 3 bis mit einer Schrittweite von 1. Berechne die zugehörigen Funktionswerte f(x) und trage diese in die zweite Zeile ein.
b) Zeichne für das Intervall von -3 bis 3 den Graphen G_f .
c) Stell dir vor, du würdest die Tabelle nach links und rechts fortsetzen. Was kannst du über die Funktionswerte y aussagen? wie erhält man aus einem y-Wert jeweils den folgenden? Was kannst du über den Verlauf des Graphen aussagen? Welche Rolle spielt die s-Achse für den Graphen?
d) Schreibe in die dritte Zeile die Funktionswerte der Funktion $g(x) = \frac{1}{2}^x$.
Was fällt dir auf? Warum ist das so?
e) Zeichne den Graphen G_g. Welcher Zusammenhang besteht zwischen G_f und G_g?

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a)

b)

c) Die Funktionswerte f(x) werden, wenn man nach links geht immer kleiner und nähern sich 0 an. Wenn man nach rechts geht, werden die Funktionswerte f(x) immer größer.
Wenn man nach links geht, erhält man den nächsten Funktionswert f(x-1), indem man den Funktionswert f(x) durch 2 dividiert.
Wenn man nach rechts geht, erhält man den nächsten Funktionswert f(x+1), indem man den Funktionswert f(x) mit 2 multipliziert.

d)
Es sind die gleichen Funktionswerte nur absteigend, also in umgekehrter Reihenfolge.

e)

Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse.