M10 Verschieben und Spiegeln der Exponentialkurven

Im folgenden Applet kann man mit den Schiebereglern für a, b, c und d die Werte der Parameter der Exponentialfunktion $g$ mit $g(x) = b \cdot a^{x-c} +d$ ändern.

Zur Kontrolle ist der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = a^x$ eingezeichnet.

  Aufgabe 1

1. Verändere mit dem Schieberegler für c den Wert von c. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von c ändert? Notiere deine Beobachtungen.

2. Stelle den Schieberegler von c wieder auf c = 0. Verändere mit dem Schieberegler für d den Wert von d. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von d ändert? Notiere deine Beobachtungen.

3. Stelle den Schieberegler von d wieder auf d = 0. Verändere mit dem Schieberegler für bden Wert von b. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von c ändert? Notiere deine Beobachtungen.

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1. Der Graph der Funktion $f(x) = a^x$ wird um c in Richtung der x-Achse verschoben.
Ist c > 0, dann erfolgt die Verschiebung nach rechts, ist c < 0, dann erfolgt die Verschiebung nach links in x-Richtung.

2. Der Graph der Funktion $f(x) = a^x$ wird um d in Richtung der y-Achse verschoben.
Ist d > 0, dann erfolgt die Verschiebung nach oben, ist d < 0, dann erfolgt die Verschiebung nach unten in y-Richtung.

3. Ist b > 1, wird der Graph von $f$ in y-Richtung gestreckt.
Ist 0 < b < 1, wird der Graph von $f$ in y-Richtung gestaucht.

Ist b < 0, erfolgt noch eine Spiegelung an der x-Achse.

Beispiel: Wie erhält man den Graphen der Funktion $g:x\to 1,5 - 2^{x+1}$ aus dem Graphen der Funktion $f:x \to 2^x$?
1. Im Exponent steht x+1, also wird der Graph von f um -1 in x-Richtung (um 1 nach links) verschoben. Beachte, dass im Exponent x-c steht. Das bedeutet, dass x + 1 = x - (-1) zu betrachten ist und c = -1.
2. Vor der Potenz steht ein -, also wird der Graph von $2^{x+1}$ an der x-Achse gespiegelt.
3. Nun wird der Graph noch um d = 1,5 in y-Richtung (um 1,5 nach oben) verschoben.

  Aufgabe 2

1. Verifiziere die drei Schritte im Applet.

2. Mache ähnliche Schritte für den Graph den Funktion
a) $g:x \to 3 - 4\cdot 2^x$.
b) $g:x \to \frac{1}{2}\cdot 2^x - 5$.

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2. a) Beachte $4\cdot 2^x =2^{x+2}$
$4\cdot 2^x = 2^{x+2}$, also $g(x)=3 - 2^{x+2}$.
Im Exponent steht x+1, also eine Verschiebung in x-Richtung um -2, (2 nach links).
- vor der Potenz bedeutet, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird.
Verschiebung um 3 in y-Richtung (3 nach oben).

b) Es ist $g(x)=\frac{1}{2}\cdot 2^x - 5=2^{x-1} - 5$.
x-1 im Exponent bedeutet, dass der Graph um 1 in x-Richtung verschoben wird (1 nach rechts).

-5 bedeutet, dass der Graph um -5 in y-Richtung verschoben wird (5 nach unten).

  Aufgabe 3

Zeichne die Graphen der Funktionen (evtl. mit GeoGebra) jeweils in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was stellst du fest?
a) $f_1(x) = 2^x; f_2(x)=2^x - 1; f_3(x) = 2^x+1$
b) $f_1(x) = 2^x; f_2(x)=2^{x - 1}; f_3(x) = 2^{x+1}$
c) $f_1(x) = 2^x; f_2(x)=-2^x ; f_3(x) = 2^{-x}$

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a) Der Graph von f₁ wird jeweils um 1 in y-Richtung für f₂ nach unten bzw. für f₃ nach oben verschoben.
b) Der Graph von f₁ wird jeweils um 1 in x-Richtung für f₂ nach rechts bzw. für f₃ nach links verschoben.

c) Der Graph von f₁ wird für f₂ an der x-Achse bzw. für f₃ an der y-Achse gespiegelt.

  Aufgabe 4

1. Welcher Graph gehört zu welcher Gleichung?
a) y = 3^x
b) y = 3^x-1
c) y = -3^x
d) y = 3^-x

2. Beschreibe jeweils, wie der Graph der Funktion $f$ aus dem Graphen von $y = (\frac{1}{2})^x$ hervorgeht.
Bestimme jeweils die waagrechte Asymptote.
a) $f(x) = (\frac{1}{2})^x - 3$
b) $f(x) = 4 + (\frac{1}{2})^x$
c) $f(x) = 3 \cdot (\frac{1}{2})^x$
d) $f(x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})^x$
e) $f(x) = -(\frac{1}{2})^x$
f) $f(x) = -(\frac{1}{2})^x - 3$
g) $f(x) = 1 - (\frac{1}{2})^x$
h) $f(x) = -3 \cdot(\frac{1}{2})^x$

3. Bringe den Funktionsterm durch Umformen in die Form $f(x) = b \cdot a^x +d$.
a) $f(x) = 3^{x+1}$
b) $f(x) = 10^{-x}$
c) $f(x) = 2^{-x-1}$
d) $f(x) = 2^{-x}-1$
e) $f(x) = 2^{2x+5}$
f) $f(x) = 3^{-2x+5}$
g) $f(x) = 3^{-2x}+5$
h) $f(x) = 4^{\frac{1}{2}}$

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1a) 3^x hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph f.
b) 3^x-1 hat den Schnittpunkt (0; 1/3) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph h.
c) -3^x hat den Schnittpunkt (0;-1) mit der y-Achse, also Graph m.
d) 3^-x hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton fallend, also Graph g.

2a) Verschiebung um -3 in y-Richtung (3 nach unten).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.
b) Verschiebung um 4 in y-Richtung (4 nach oben).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 4.
c) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
d) Stauchung um 1/3 in y-Richtung.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
e) Spiegelung an der x-Achse.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
f) Spiegelung an der x-Achse und verschieben um -3 in y-Richtung (3 nach unten).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.
g) Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung um 1 in y-Richtung (1 nach oben).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 1. h) Spiegelung an der x-Achse und Streckung in y-Richtung um den Faktor 3.

3a)$3^{x+1}=3\cdot 3^x$
b) $10^{-x}=\left (\frac{1}{10}\right )^x$
c) $2^{-x-1}=0,5\cdot\left (\frac{1}{2} \right )^x$
d) $2^{-x} - 1=\left ( \frac{1}{2} \right )^x -1$
e) $2^{2x+5}=32\cdot 4^x$
f) $3^{-2x + 5}=243 \cdot \left ( \frac{1}{9} \right )^x$
g) $3^{-2x} + 5=\left ( \frac{1}{9} \right )^x + 5$

g) $4^{\frac{1}{2}x}=(\sqrt 4)^x =2^x$