Quelltext der Seite M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen

__NOCACHE__
=Die Ableitung der Sinusfunktion=

In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion <math>f:x \to sin(x)</math> über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.
<center><ggb_applet height="250" width="800" filename="ableitung_sin.ggb" /></center>

{{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist <math>(sin (x))' = cos (x) </math>. }}

Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen

=Die Ableitung der Kosinusfunktion=

<center><ggb_applet height="250" width="800" filename="ableitung_cos.ggb" /></center>

{{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist <math>(cos (x))' = - sin (x) </math>. }}

Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist <math> cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)</math> und <math> sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Damit ist die Ableitung <math>(cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)</math>


<center>{{#ev:youtube |6CfQLlgA3zE|350}}</center>


=Die Ableitung der Tangensfunktion=

Man weiß <math> tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}</math>. Mit der Quotientenregel kann man <math>tan(x)</math> ableiten. Es ist <math>(tan(x))'=\frac{cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot (-sin(x))}{(cos(x))^2}=\frac{(cos(x))^2+(sin(x))^2}{(cos(x))^2}=\frac{1}{(cos(x))^2}</math>

{{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Tangensfunktion ist  <math>(tan(x))'= \frac{1}{(cos(x))^2}</math> . }}


<center><ggb_applet height="450" width="800" filename="ableitung_tan.ggb" /></center>

=Stammfunktionen=

{{Merksatz|MERK=Die Menge aller Stammfunktionen F der 

* Sinusfunktion <math>f:x \to sin(x)</math> ist <math>F:x \to - cos(x) + C</math>

* Kosinusfunktion <math>f:x \to cos(x)</math> ist <math>F:x \to sin(x) + C</math>  }}

Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:

* <math>\left ( - cos(x) + C \right )' = sin(x)</math>

* <math>\left ( sin(x) + C \right )' = cos(x)</math>.

=Aufgaben=
__NOCACHE__

{{Merke|1=Zur Wiederholung:

<math>sin(-x) = - sin(x)</math> und <math>cos(-x) = cos(x)</math>

<math>(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 </math>

<math> sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)</math> und <math>cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)</math> 

<math>tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}</math>}}

<center>{{#ev:youtube |FwdebKj28SU|350}}</center>

{{Aufgaben-blau|1|2=Buch S. 134 / 1 }}

{{Lösung versteckt|1=a) y' = - sin(x-3)<br>
b) y' = cos(x<sup>2</sup>)· 2x = 2x cos(x<sup>2</sup>)<br>
c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))<sup>2</sup> - (sin(x))<sup>2</sup><br>
d) y' = 2 sin(x) · cos(x)  (nachdifferenzieren!)<br>
e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)<br>
f) y' = - a· sin(ax + b)<br>
g) y' = 2x · sin(x) + x<sup>2</sup> · cos(x)<br>
h) Es ist 1 - (sin x)<sup>2</sup> = (cos x)<sup>2</sup>. Daher ist y' = ((cos x)<sup>4</sup>)' = 4·(cos x)<sup>3</sup>· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)<sup>3</sup>.<br>
i) y' = 0<br>
j) <math>y' = 3x^2 + 2x\cdot sin(\frac{3}{2}\pi) + cos(\pi)=3x^2 - 2x -1</math><br>
k) <math>y' = \frac{-sin(x) sin(x) - cos(x)cos(x)}{(sin(x))^2}= \frac{-1}{(sin(x))^2}</math><br>
l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))<sup>2</sup> und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))<br>
m) y' = 0<br>
n) <math>y' = \frac{sin(x) - x \cdot cos(x)}{(sin(x))^2}</math><br>
o) <math>y' = -sin(\frac{1}{x})\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{sin(\frac{1}{x})}{x^2}</math><br>
p) <math>y' = cos(\frac{\pi}{3}x)\cdot \frac{\pi}{3}</math><br>
q) <math>y' = \frac{1}{(cos(x))^2}</math>  }}

{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 135 / 3  }}

{{Lösung versteckt|1=a)f(x) = sin(x), die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = cos(x)<br>
f hat einen Extrempunkt in x<sub>0</sub>, wenn f#(x<sub>0</sub> = 0 ist und ein VZW vorliegt.<br>
(1) Im Intervall [<math>-1,6\pi;1,6\pi</math>] ist cos(x)= 0 für <math>x = -1,5\pi; -0,5\pi; 0,5\pi; 1,5\pi</math><br>
Bei <math>x = -1,5\pi</math> hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.<br>
Bei <math>x = -0,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br>
Bei <math>x = 0,5\pi</math> hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.<br>
Bei <math>x = 1,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br>
(2) f'(x) = cos(x) = 1 für <math>x = -\pi; 0, \pi</math><br>
[[Datei:135-3a.jpg]]

b) f(x) = cos(2x), D = ]-2;2[. die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = - 2·sin(2x)<br>
(1) f'(x) = - 2·sin(2x) = 0 für <math>x = -0,5\pi; 0; 0,5\pi</math><br>
Bei <math>x = -0,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br>
Bei <math>x = 0</math> hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.<br>
Bei <math>x = 0,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br>
(2) f'(x) = - 2·sin(2x) = 1 für sin(2x) = - 0,5 und <math>2x = -\frac{\pi}{6}</math> und <math>x = -\frac{5\pi}{6}</math>, also <math>x = -\frac{5\pi}{12}</math> und <math>-\frac{\pi}{12}</math>. <br>
[[Datei:135-3b.jpg]]

c) f(x) = tan(x) mit <math>f'(x)=\frac{1}{(cos(x))^2}</math><br>
(1) In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.<br>
(2) f'(x) = 1 für <math>(cos(x))^2 = 1</math>, also für x = 0.
[[Datei:135-3c.jpg]]

d) f(x) = 0,5 cos(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) mit f'(x) = - sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>)<br>
(1) f'(x) = - sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) = 0, wenn <math>2x+\frac{\pi}{6} =-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi</math>. <br>
<math>x_1=-\frac{-13\pi}{12} \notin D</math><br>
<math>x_2=-\frac{5\pi}{12}; x_3=-\frac{\pi}{12}; x_4=\frac{5\pi}{12};x_5=\frac{11\pi}{12}</math><br>
(2) f'(x) = - sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) = 1 bzw. sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) = - 1 für <math>2x + \frac{\pi}{6}= -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}</math><br>
<math>x_6=-\frac{1\pi}{3}; x_7=\frac{2\pi}{3}</math>
[[Datei:135-3d.jpg]]

Die Nullstellen der Ableitung wurden unter Berücksichtigung der Definitionsmenge bestimmt. Natürlich hat ein sin oder cos unendlich viele Nullstellen in R, aber da hier nur Intervalle gegeben waren, wurden passende x-Werte für die Nullstellen verwendet.}}

{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 135 / 4 }}

{{Lösung versteckt|1=a) F(x) = -0,5·cos(2x) +  C<br>
b) F(x) = <math>\pi</math>·sin(<math>\frac{x}{\pi}) + C</math><br>
c) F(x) = <math>\frac{1}{2}x^2 + sin(x) + C</math><br>
d) F(x) = <math>-\frac{40}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{4}x) + C</math>  }}

=weitere Aufgaben=

{{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 134 / 2 }}

{{Lösung versteckt|1=Zuerst wird immer das Grundintervall [<math>0;2\pi</math>] betrachtet und danach auf die angegebene Grundmenge übertragen.<br>
a) y' = cos(x) = 0 für <math>x = \frac{\pi}{2}</math> oder <math>x = \frac{3\pi}{2}</math><br>
b) y' = 1 + sin(x) = 0 für sin(x) = -1, also <math>x = \frac{3\pi}{2}</math> im Grundintervall und in G ist <math>x = -\frac{\pi}{2}</math> oder <math>x=\frac{3\pi}{2}</math><br>
c) y' = -sin(2x) - 1 = 0 ergibt sin(2x) = -1 und <math>x = -\frac{\pi}{4}</math> oder <math>x =\frac{3\pi}{4}</math><br>
d) y' = <math>\frac{\pi}{4}\cdot sin(\frac{\pi}{4}x)</math> = 0 für <math>\frac{\pi}{4}x=k\cdot \pi</math> ergibt x = -4 oder x = 0 oder x = 4</math><br>
e) y' = <math>\frac{\pi}{3}\cdot cos(\frac{\pi}{6}x)</math> = 0 für <math>\frac{\pi}{6}x= \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}</math> ergibt x = 3 oder x =  9<br>
f) y' <math>\frac{16}{\pi}sin(\frac{4}{\pi}x)</math> = 0 für <math>\frac{4}{\pi}x = 0; \pi; 2\pi</math> ergibt x = 0 }}
<ggb_applet height="700" width="1000"
filename="134-2.ggb" />

{{Aufgaben-blau|5|2=Buch S. 135 / 6  }}

{{Lösung versteckt|1=f(x) = 1 + sin(kx)<br>
a) Für k = 2 ist f(x) = 1 + sin(2x)<br>
Die Achsenpunkte erhält man für f(0) = 1, also auf der y-Achse (0;1) und auf der x-Achse sin(2x)=-1, also <math>2x = -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}</math>, also <math>x = -\frac{\pi}{4}</math> und <math>x = \frac{3\pi}{4}</math>.<br>
Die Extremwerte erhält man durch Nullsetzen der Ableitungsfunktion f'. Es ist f'(x) = 2·cos(2x). Es ist 2·cos(2x) = 0, also cos(2x) = 0 für <math> x =- \frac{3\pi}{4}</math>, <math> x =- \frac{\pi}{4}</math>, <math>x = \frac{\pi}{4}</math> und <math> x = \frac{3\pi}{4}</math><br>
[[Datei:135-6a.jpg]]

b) f'(x) = k·cos(kx)<br>
Tangente in A(0;1): Steigung m = f'(0) = k<sup>*</sup>, y-Abschnitt t = 1, also y = k<sup>*</sup>·x + 1.<br>
Tangente in B(<math>\frac{\pi}{k^*}</math>;1) : m = f'(<math>\frac{\pi}{k^*}</math>)=<math>k^*\cdot cos(\pi)=-k^*</math>. <br>
t erhält man mit f((<math>\frac{\pi}{k^*}</math>)=1 aus der Gleichung 1 = <math>-k^* \cdot \frac{\pi}{k^*} +t</math>  zu <math>t = 1-\pi</math>. Also ist die Gleichung der Tangente y = -k<sup>*</sup>x + 1 - <math>\pi</math>. <br>
 Zwei Geraden stehen senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist.
Also muss k<sup>*</sup>·(-k<sup>*</sup>) = -(k<sup>*</sup>)<sup>2</sup> = - 1 sein. Dies ist für k<sup>*</sup> = -1 oder k<sup>* = 1 </sup> erfüllt. Da k<sup>*</sup> positiv ist, erhält man als einzige Lösung k<sup>*</sup> = 1. 
<center>[[Datei:135-6b.jpg]]</center>
Der Schnittpunkt der beiden Tangenten y = x + 1 und y = -x + 1 - <math>\pi</math> ist S(<math>-\frac{\pi}{2};1-\frac{\pi}{2}</math>).<br>
Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass das Dreieck die Grundseite g = <math>\pi</math> und die Höhe h = <math>\frac{\pi}{2}</math> hat, also ist der Flächeninhalt des Dreiecks <math>A = \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{4}</math>. }}

{{Aufgaben-blau|6|2=Buch S. 135 / 7 }}

{{Lösung versteckt|1=a) [[Datei:135-7.jpg]]<br>
b)Größte Tageslänge 12,2 + 4,4 = 16,6 (h)<br>
kürzeste Tageslänge 12,2 - 4,4 = 7,8 (h)<br>
Das Datum erhält man durch Bestimmung des Extremwerte. <math>f'(x) = 4,4\cdot \frac{2\pi}{365}\cdot cos(\frac{2\pi}{365}(x-81))=0</math>. <br>
<math>\frac{2\pi}{365}(x-81) = \frac{\pi}{2}</math> oder <math>\frac{2\pi}{365}(x-81)=\frac{3\pi}{2}</math>. <br>
<math>x_1 = 81+\frac{365}{4}=172,25</math> und <math>x_2=81 + \frac{3\cdot 365}{4}=354.75</math><br>
Auf [https://www.matheretter.de/rechner/tagesnummern dieser Seite] kann man nachsehen, welches Datum diese Tage haben. Der 172. Tag im Jahr ist der 21. Juni, der 355. Tag des Jahres ist der 21. Dezember.<br>
c) Der 21. März ist der 80. Tag im Jahr und die Tageslänge ist f(80)=12,12 (h), <br>
der 21. Juni ist der 172. Tag im Jahr und die Tageslänge ist 16,6 (h), <br>
der 23. September ist der 266.Tag im Jahr und die Tageslänge ist 12,01 (h),<br>
der 21. Dezember ist der 355. Tag im Jahr und die Tageslänge ist 7,8 (h).   }} 

{{Aufgaben-blau|7|2=Buch S. 135 / 8 }}

{{Lösung versteckt|1=a) siehe Applet unten<br>

b)F'(x) = 2 + cos(x) = f(x)<br>
G'(x) = <math>\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left ( cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot sin(x) \right) =\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left ( (cos(x))^2 - (sin(x))^2 \right) =\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left ( 1 - (sin(x))^2 - (sin(x))^2 \right) = </math><br>
<math>\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left (1-2(sin(x))^2 \right)= \frac{1}{2} -\frac{1}{2} + (sin(x))^2 = g(x)</math>

c) Laut Konstuktion ist d(a) = y<sub>P</sub> - y<sub>Q </sub> = f(a) - g(a).<br>
d ist minimal in a<sup>*</sup>, wenn d' für a = a<sup>*</sup> eine Nullstelle mit VZW -/+ hat.<br>
d'(a) = (2 + cos(a) -(sin(a))<sup>2</sup>)' = -sin(a) - 2sin(a)cos(a) = -sin(a)[1+2cos(a)]<br>
-sin(a)[1+2cos(a)] = 0 für sin(a) = 0, also a = 0 oder a = <math>\pi</math> oder<br>
1+2cos(a) = 0, also <math>cos(a)=-\frac{1}{2}</math> und <math>a = \frac{2\pi}{3}</math><br>
Für a <math>\in</math> [0;<math>\pi</math>] ist -sin(a) stets negativ, 1 + 2cos(a) ist für 0 ≤ x < <math>\frac{2\pi}{3}</math> positiv(, also d' ist insgesamt dort negativ) und für <math>\frac{2\pi}{3}</math> < a < <math>\pi</math> negativ(, also d# ist dort insgesamt positiv). Also hat d' bei a = <math>\frac{2\pi}{3}</math> einen VZW -/+ und d hat dort ein Minimum. <br>
Es ist <math>d(\frac{2\pi}{3})= 2 -\frac{1}{2} - \frac{3}{4}=0,75</math><br>
Aus der Zeichnung sieht man, dass d für  a = 0 oder a = <math>\pi</math>  kein Minimum hat. 

Die Steigung der Tangente in P ist f'(<math>\frac{2\pi}{3}</math>) = -sin(<math>\frac{2\pi}{3}</math>) = <math>-\frac{\sqrt 3}{2}</math>.<br>
Die Steigung der Tangente in Q ist g'(x) = 2sin(<math>\frac{2\pi}{3}</math>)cos(<math>\frac{2\pi}{3}</math>)=<math>2\cdot \frac{\sqrt 3}{2}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt 3}{2}</math>. <br>
Also sind die beiden Tangenten dort parallel.  }}


<ggb_applet height="500" width="700"
filename="135-8.ggb" />

{{Aufgaben-blau|8|2=Buch S. 136 / 10 }}