M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen
Inhaltsverzeichnis |
Die Ableitung der Sinusfunktion
In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.
Merke:
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist . |
Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen
Die Ableitung der Kosinusfunktion
Merke:
Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist . |
Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist und . Damit ist die Ableitung
Die Ableitung der Tangensfunktion
Man weiß . Mit der Quotientenregel kann man ableiten. Es ist
Merke:
Die Ableitung der Tangensfunktion ist . |
Stammfunktionen
Merke:
Die Menge aller Stammfunktionen F der
|
Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:
- .
Aufgaben
Zur Wiederholung: und
und
|
a) y' = - sin(x-3)
b) y' = cos(x2)· 2x = 2x cos(x2)
c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))2 - (sin(x))2
d) y' = 2 sin(x) · cos(x) (nachdifferenzieren!)
e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)
f) y' = - a· sin(ax + b)
g) y' = 2x · sin(x) + x2 · cos(x)
h) Es ist 1 - (sin x)2 = (cos x)2. Daher ist y' = ((cos x)4)' = 4·(cos x)3· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)3.
i) y' = 0
j)
k)
l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))2 und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))
m) y' = 0
n)
o)
p)
a)f(x) = sin(x), die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = cos(x)
f hat einen Extrempunkt in x0, wenn f#(x0 = 0 ist und ein VZW vorliegt.
(1) Im Intervall [] ist cos(x)= 0 für
Bei hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = cos(x) = 1 für
b) f(x) = cos(2x), D = ]-2;2[. die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = - 2·sin(2x)
(1) f'(x) = - 2·sin(2x) = 0 für
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = - 2·sin(2x) = 1 für sin(2x) = - 0,5 und und , also und .
c) f(x) = tan(x) mit
(1) In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.
(2) f'(x) = 1 für , also für x = 0.
d) f(x) = 0,5 cos(2x + ) mit f'(x) = - sin(2x + )
(1) f'(x) = - sin(2x + ) = 0, wenn .
(2) f'(x) = - sin(2x + ) = 1 bzw. sin(2x + ) = - 1 für
a) F(x) = -0,5·cos(2x) + C
b) F(x) = ·sin(
c) F(x) =
weitere Aufgaben
Zuerst wird immer das Grundintervall [] betrachtet und danach auf die angegebene Grundmenge übertragen.
a) y' = cos(x) = 0 für oder
b) y' = 1 + sin(x) = 0 für sin(x) = -1, also im Grundintervall und in G ist oder
c) y' = -sin(2x) - 1 = 0 ergibt sin(2x) = -1 und oder
d) y' = = 0 für ergibt x = -4 oder x = 0 oder x = 4</math>
e) y' = = 0 für ergibt x = 3 oder x = 9
f(x) = 1 + sin(kx)
a) Für k = 2 ist f(x) = 1 + sin(2x)
Die Achsenpunkte erhält man für f(0) = 1, also auf der y-Achse (0;1) und auf der x-Achse sin(2x)=-1, also , also und .
Die Extremwerte erhält man durch Nullsetzen der Ableitungsfunktion f'. Es ist f'(x) = 2·cos(2x). Es ist 2·cos(2x) = 0, also cos(2x) = 0 für , , und
b) f'(x) = k·cos(kx)
Tangente in A(0;1): Steigung m = f'(0) = k*, y-Abschnitt t = 1, also y = k*·x + 1.
Tangente in B(;1) : m = f'()=.
t erhält man mit f(()=1 aus der Gleichung 1 = zu . Also ist die Gleichung der Tangente y = -k*x + 1 - .
Zwei Geraden stehen senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist.
Also muss k*·(-k*) = -(k*)2 = - 1 sein. Dies ist für k* = -1 oder k* = 1 erfüllt. Da k* positiv ist, erhält man als einzige Lösung k* = 1.
Der Schnittpunkt der beiden Tangenten y = x + 1 und y = -x + 1 - ist S().
a)
b)Größte Tageslänge 12,2 + 4,4 = 16,6 (h)
kürzeste Tageslänge 12,2 - 4,4 = 7,8 (h)
Das Datum erhält man durch Bestimmung des Extremwerte. .
oder .
und
Auf dieser Seite kann man nachsehen, welches Datum diese Tage haben. Der 172. Tag im Jahr ist der 21. Juni, der 355. Tag des Jahres ist der 21. Dezember.
c) Der 21. März ist der 80. Tag im Jahr und die Tageslänge ist f(80)=12,12 (h),
der 21. Juni ist der 172. Tag im Jahr und die Tageslänge ist 16,6 (h),
der 23. September ist der 266.Tag im Jahr und die Tageslänge ist 12,01 (h),
a) siehe Applet unten
b)F'(x) = 2 + cos(x) = f(x)
G'(x) =
c) Laut Konstuktion ist d(a) = yP - yQ = f(a) - g(a).
d ist minimal in a*, wenn d' für a = a* eine Nullstelle mit VZW -/+ hat.
d'(a) = (2 + cos(a) -(sin(a))2)' = -sin(a) - 2sin(a)cos(a) = -sin(a)[1+2cos(a)]
-sin(a)[1+2cos(a)] = 0 für sin(a) = 0, also a = 0 oder a = oder
1+2cos(a) = 0, also und
Für a [0;] ist -sin(a) stets negativ, 1 + 2cos(a) ist für 0 ≤ x < positiv(, also d' ist insgesamt dort negativ) und für < a < negativ(, also d# ist dort insgesamt positiv). Also hat d' bei a = einen VZW -/+ und d hat dort ein Minimum.
Es ist
Aus der Zeichnung sieht man, dass d für a = 0 oder a = kein Minimum hat.
Die Steigung der Tangente in P ist f'() = -sin() = .
Die Steigung der Tangente in Q ist g'(x) = 2sin()cos()=.