Quelltext der Seite M8 - Tests zu gebrochen-rationalen Funktionen

Auf dieser Seite kommen noch ein paar Tests, mit denen du schauen kannst wie sicher du im Umgang mit gebrochen-rationalen Funktionen bist. 

Zuerst zur Wiederholung:

{{Merke|1= Die Funktion f hat in x<sub>0</sub> eine Nullstelle, wenn f(x<sub>0</sub>) = 0 ist. }}

Das hast du bei linearen Funktionen schon kennengelernt.

{{Aufgaben-blau|1|2=Bestimme die Nullstellen der linearen Funktionen f mit <br>
a) f(x) = x - 1<br>
b) f(x) = 2x + 1<br>
c) f(x) = 5x<br>
d) f(x) = 12x - 48<br>
e) f(x) = -2x + 10<br>
f) f(x) = 4 - 0,5x<br>
g) f(x) = -2x -0,25<br>
h) Welche Bedeutung haben die Nullstellen beim Graphen der Funktion?
}}

{{Lösung versteckt|1=a) x = 1<br>
b) x = - 0,5<br>
c) x = 0<br>
d) x = 4<br>
e) x = 5<br>
f) x = 8<br>
g) x = -0,125<br>
h) Die Nullstellen der Funktion geben beim Graphen den Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0) an.
}}


Auch für gebrochen-rationale Funktionen kann man falls es Nullstellen gibt diese angeben. 

{{Merke|1=Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist. }}

'''Beispiel:''' <math>\frac{2x+1}{x}</math> hat den Wert 0, wenn der Zähler 2x+1 = 0 ist, also für x = -0,5.

{{Merksatz|MERK=Eine gebrochenrationale Funktion besitzt überall dort eine Nullstelle, wo der Zähler den Wert Null annimmt (und der Nenner jedoch ungleich Null ist).}}

Nimmt der Zähler einer gebrochen-rationalen Funktion für x<sub>0</sub>  den Wert 0 an und hat auch der Nenner für x<sub>0</sub> den Wert 0, dann ist x<sub>o</sub> eine Definitionslücke und man darf x<sub>0</sub> gar nicht einsetzen. Deshalb ist in dem Merksatz nur in Klammern angemerkt, dass der Nenner bei einer Nullstelle einen Wert ungleich 0 hat.


{{Aufgaben-blau|2|2=Bestimme für die gebrochen-rationale Funktion f zuerst die Definitonslücke und Definitionsmenge und dann die Nullstelle(n)<br>
a) f mit <math>f(x) = \frac{x}{x-1}</math> <br>
b) f mit <math>f(x) = \frac{x-2}{x+1}</math> <br>
c) f mit <math>f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}</math> <br>
d) f mit <math>f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}</math> <br>
e) f mit <math>f(x) = \frac{2x+1}{x-5}</math> <br>
f) f mit <math>f(x) = \frac{3-x}{x-3}</math> <br>
g) f mit <math>f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}</math><br>
h) f mit <math>f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}</math>
}}

{{Lösung versteckt|1=a) <math>f(x) = \frac{x}{x-1}</math> hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D = Q\{1} und bei x = 0 eine Nullstelle.<br>
b) <math>f(x) = \frac{x-2}{x+1}</math> hat bei x = -1 eine Definitionslücke und D = Q\{-1}; Nullstelle bei x = 2.<br>
c) f mit <math>f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}</math> hat keine Definitionslücke (x<sup>2</sup> + 1 > 0), D = Q; Nullstelle bei x = -2<br>
d) <math>f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken x = -1 und x = 1, also D = Q\{-1;1} und Nullstelle bei x = 0.<br>
e) <math>f(x) = \frac{2x+1}{x-5}</math> hat bei x = 5 eine Definitionslücke, D = Q\{5} und Nullstelle bei x = - 0,5.<br>
f) f mit <math>f(x) = \frac{3-x}{x-3}</math> hat bei x = 3 eine Definitionslücke, D = Q\{3}. Der Zähler nimmt für x = 3 den Wert 0 an, aber man darf die Definitionslücke ja gar nicht einsetzen, also ist 3 keine Nullstelle! <br>
g)  <math>f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}</math> hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D=Q\{1] und bei x = -1 und x = 2 Nullstellen.<br>
 Beachte: Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor den Wert 0 hat!
i) <math>f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-4=(x+2)(x-2) zwei Definitionslücken bei x = - und x = 2, D = Q\{-2;2}. Allerdings steht im Zähler auch der Term x-2. Damit kann man kürzen <math>\frac{x-2}{x^2 - 4}==\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x+2}</math>. 
 Brüche kann man kürzen, wenn in Zähler und Nenner der gleiche Faktor vorkommt.
Am gekürzten Term sieht man, dass x = 2 keine Nullstelle ist, da der Zähler 1 nicht gleich 0 ist. 
}}



Für die folgenden Tests, in denen Graphen und Funktionsterme gegeben sind, ist es hilfreich sich den Term anzusehen und zu überlegen wo Definitionslücken und Nullstellen auftreten. <br>
Bei einer Definitionslücke hat man oftmals eine senkrechte Asymptote. <br>
Bei der Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse. <br>
Waagrechte Asymptoten hat man, wenn <math>x \rightarrow -\infty</math> oder <math>x \rightarrow -\infty</math> geht. ( <math>\infty</math> ist das Zeichen für unendlich.) <br>
Zur Bestimmung der waagrechten Asymptote gibt es noch einen Trick:<br>
Man weiß vom Graphen der indirekten Proportionalität, dass für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse (y=0) waagrechte Asymptote ist. Für den Term <math>\frac{2x - 1}{x+1}</math> erweitert man den Bruch mit <math>\frac{1}{x}</math>, also <br> <math>\frac{2x - 1}{x+1}=\frac{\frac{1}{x}(2x - 1)}{\frac{1}{x}(x+1)}</math> und löst die Klammern auf. <math>\frac{\frac{1}{x}(2x - 1)}{\frac{1}{x}(x+1)}= \frac{\frac{1}{x}\cdot2x - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}\cdot x+\frac{1}{x}} =\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}</math>. Im letzten Term geht für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> <math>\frac{1}{x} \rightarrow 0</math> und es bleibt dann nur <math>\frac{2}{1}= 2 </math>.

Wenn man einen Graphen hat, dann schaut man wo ist die senkrechte Asymptote, wo die waagrechte, gibt es Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen). Da die Werte stets ganze Zahlen sind, kann man es aus den Diagrammen schon ablesen.


'''Test 1'''

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu. 
<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| [[Bild:kh-rf-graph-1.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-2.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-3.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-4.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-5.jpg|150px]]  || [[Bild:kh-rf-graph-10.jpg|150px]]
|- 
| <strong>  [[Bild:kh-rf-term-1.jpg]]  </strong>  || <strong> [[Bild:kh-rf-term-2.jpg]]  </strong> || <strong>  [[Bild:kh-rf-term-3.jpg]]  </strong> || <strong> [[Bild:kh-rf-term-4.jpg]]  </strong> || <strong> [[Bild:kh-rf-term-5.jpg]] </strong> || <strong> [[Bild:kh-rf-term-10.jpg]] </strong> 
|}
</div>

'''Test 2'''

<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| [[Bild:kh-rf-term-1.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-2.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-3.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-9.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-5.jpg|150px]]  
|- 
| <strong>  [[Bild:kh-rf-graph-1.jpg|150px]]  </strong>  || <strong> [[Bild:kh-rf-graph-2.jpg|150px]]  </strong> || <strong>  [[Bild:kh-rf-graph-3.jpg|150px]]  </strong> || <strong> [[Bild:kh-rf-graph-9.jpg|150px]]  </strong> || <strong> [[Bild:kh-rf-graph-5.jpg|150px]]  </strong> 
|}
</div>

'''Test 3'''

Ordne die Definitionsmenge dem richtigen Graph zu.

<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| [[Bild:kh-rf-graph-4.jpg|150px]] ||[[Bild:kh-rf-graph-1.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-2.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-3.jpg|150px]] ||  [[Bild:kh-rf-graph-5.jpg|150px]]  
|- 
| <strong> [[Bild:kh-rf-d-ohne-1.jpg]]  </strong> || <strong>  [[Bild:kh-rf-d-ohne1.jpg]]  </strong>  || <strong> [[Bild:kh-rf-d-ohne-2.jpg]]  </strong> || <strong>  [[Bild:kh-rf-d-ohne-1.jpg]]  </strong> ||  <strong> [[Bild:kh-rf-d-ohne-1.jpg]]  </strong> 
|}
</div>

'''Test 4'''

Ordne die Definitionsmenge dem richtigen Term zu.

<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| [[Bild:kh-rf-term-6.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-7.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-8.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-9.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-10.jpg|150px]]  
|- 
| <strong>  [[Bild:kh-rf-d-ohne1.jpg]]  </strong>  || <strong> [[Bild:kh-rf-d-ohne15.jpg]]  </strong> || <strong>  [[Bild:kh-rf-d-ohne15.jpg]]  </strong> || <strong> [[Bild:kh-rf-d-ohne0.jpg]]  </strong> || <strong> [[Bild:kh-rf-d-ohne2-2.jpg]]  </strong> 
|}
</div>

Bestimme zum Graph die richtigen Asymptoten.

'''Test 5'''
<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| [[Bild:kh-rf-graph-4.jpg|150px]] ||[[Bild:kh-rf-graph-1.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-2.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-graph-3.jpg|150px]] ||  [[Bild:kh-rf-graph-5.jpg|150px]]  
|- 
| <strong> x = -1 und y = -1  </strong> || <strong>  x = 1 und y = 0  </strong>  || <strong> y = 0 und x = -2  </strong> || <strong>  x = -1 und y = 1  </strong> ||  <strong> x = -1 und y = 2  </strong> 
|}
</div>


'''Test 6'''

Bestimme zum Term die richtigen Asymptoten.

<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| [[Bild:kh-rf-term-6.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-7.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-8.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-9.jpg|150px]] || [[Bild:kh-rf-term-10.jpg|150px]]  
|- 
| <strong>  x = 1 und y = 2  </strong>  || <strong> x = 1,5 und y = 1  </strong> || <strong>  x = 1,5 und y = 1,5  </strong> || <strong> x = 0 und y = 0  </strong> || <strong> x = -2 und x = 2 </strong> 
|}
</div>

--------------------------------------

'''Für Spezialisten oder alle, die noch nicht genug haben:'''

Finde die richtigen Paare - je ein Funktionsterm und ein Funktionsgraph gehören zusammen. Achte auf die wesentlichen Eigenschaften der Funktion (Nullstelle, Asymptote, Polstelle, Definitionsmenge).

:::{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|
<div class="memo-quiz">

{| 
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-1.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-1.jpg|150px]]   
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-2.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-2.jpg|150px]]
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-3.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-3.jpg|150px]]
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-4.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-4.jpg|150px]]
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-5.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-5.jpg|150px]] 
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-6.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-6.jpg|150px]] 
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-7.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-7.jpg|150px]]
|-
| <big> [[Bild:kh-rf-term-8.jpg|150px]]  </big>  || [[Bild:kh-rf-graph-8.jpg|150px]] 
|}

</div>

'''Zum Schluss noch ein paar Aufgaben zum Knobeln.'''


<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1F1FF; align:left;">
'''Aufgabe 3:'''

Gib zu diesem Graph <br>[[Bild:kh-rf-graph-11.jpg]]<br>den richtigen Funktionsterm an.<br>
Finde dazu die Asymptoten, Polstellen und Nullstellen und überlege dir wie diese Dinge im Funktionsterm eingehen.

{{Lösung versteckt|senkrechte Asymptoten <math>x = -2</math> und <math>x = 2</math>, also muss <math>(x+2)(x-2)</math> im Nenner des Bruches stehen<br>
Nullstellen: <math>x = -1</math>, also muss <math>x+1</math> im Zähler des Bruches stehen<br>
waagrechte Asymptote <math>y = 0</math>, also ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners<br>
Ergebnis: [[Bild:kh-rf-term-11.jpg]]}}


'''Aufgabe 4:''' 

Gegeben ist die Funktion f mit [[Bild:kh-rf-term-12.jpg]].<br>
Zeichne den Graphen!

{{Lösung versteckt|[[Bild:kh-rf-graph-12.jpg]]}}


'''Aufgabe 5:'''

Gegeben ist die Funktion f mit [[Bild:kh-rf-term-13.jpg]].<br>
Worin unterscheidet sich dieser Funktionsterm von Term der Aufgabe 2?<br>
Wie macht sich das im Graph ersichtlich?<br>
Zeichne den Graphen!

{{Lösung versteckt|In Zähler und Nenner des Bruches kommt jeweils der Term <math>x-2</math> vor. Deshalb kann man <math>x-2</math> kürzen. (Siehe auch Lösung zu Aufgabe 2h) ) Für die Definitionsmenge gilt aber weiterhin, dass man <math>x = 2</math> nicht einsetzen darf, da im ursprünglichen Term der Nenner 0 würde, also [[Bild:kh-rf-d-ohne2-2.jpg]].<br>
Die Funktion stimmt bis auf die Stelle bei <math>x = 2</math> mit der Funktion mit dem Term <math>\frac{1}{x-2}\ </math> überein. <br><br>
Der Graph schaut dann so aus:<br>
 [[Datei:kh-rf-graph-13.jpg]]<br>
Beachte, dass der blaue Punkt (2; 0,25) im Graphen eine Lücke ist. An dieser Stelle gibt es keinen Punkt!}}
</div>