M8 - Tests zu gebrochen-rationalen Funktionen

Auf dieser Seite kommen noch ein paar Tests, mit denen du schauen kannst wie sicher du im Umgang mit gebrochen-rationalen Funktionen bist.

Zuerst zur Wiederholung:

Merke Die Funktion f hat in x0 eine Nullstelle, wenn f(x0) = 0 ist.

Das hast du bei linearen Funktionen schon kennengelernt.

  Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen der linearen Funktionen f mit
a) f(x) = x - 1
b) f(x) = 2x + 1
c) f(x) = 5x
d) f(x) = 12x - 48
e) f(x) = -2x + 10
f) f(x) = 4 - 0,5x
g) f(x) = -2x -0,25
h) Welche Bedeutung haben die Nullstellen beim Graphen der Funktion?

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a) x = 1
b) x = - 0,5
c) x = 0
d) x = 4
e) x = 5
f) x = 8
g) x = -0,125

h) Die Nullstellen der Funktion geben beim Graphen den Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0) an.

Auch für gebrochen-rationale Funktionen kann man falls es Nullstellen gibt diese angeben.

Merke Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist.

Beispiel: $\frac{2x+1}{x}$ hat den Wert 0, wenn der Zähler 2x+1 = 0 ist, also für x = -0,5.

Merke: Eine gebrochenrationale Funktion besitzt überall dort eine Nullstelle, wo der Zähler den Wert Null annimmt (und der Nenner jedoch ungleich Null ist).

Nimmt der Zähler einer gebrochen-rationalen Funktion für x₀ den Wert 0 an und hat auch der Nenner für x₀ den Wert 0, dann ist x_o eine Definitionslücke und man darf x₀ gar nicht einsetzen. Deshalb ist in dem Merksatz nur in Klammern angemerkt, dass der Nenner bei einer Nullstelle einen Wert ungleich 0 hat.

  Aufgabe 2

Bestimme für die gebrochen-rationale Funktion f zuerst die Definitonslücke und Definitionsmenge und dann die Nullstelle(n)
a) f mit $f(x) = \frac{x}{x-1}$
b) f mit $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$
c) f mit $f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}$
d) f mit $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$
e) f mit $f(x) = \frac{2x+1}{x-5}$
f) f mit $f(x) = \frac{3-x}{x-3}$
g) f mit $f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}$
h) f mit $f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}$

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a) $f(x) = \frac{x}{x-1}$ hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D = Q\{1} und bei x = 0 eine Nullstelle.
b) $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$ hat bei x = -1 eine Definitionslücke und D = Q\{-1}; Nullstelle bei x = 2.
c) f mit $f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}$ hat keine Definitionslücke (x² + 1 > 0), D = Q; Nullstelle bei x = -2
d) $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$ hat wegen x²-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken x = -1 und x = 1, also D = Q\{-1;1} und Nullstelle bei x = 0.
e) $f(x) = \frac{2x+1}{x-5}$ hat bei x = 5 eine Definitionslücke, D = Q\{5} und Nullstelle bei x = - 0,5.
f) f mit $f(x) = \frac{3-x}{x-3}$ hat bei x = 3 eine Definitionslücke, D = Q\{3}. Der Zähler nimmt für x = 3 den Wert 0 an, aber man darf die Definitionslücke ja gar nicht einsetzen, also ist 3 keine Nullstelle!
g) $f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}$ hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D=Q\{1] und bei x = -1 und x = 2 Nullstellen.

Beachte: Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor den Wert 0 hat!

i) $f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}$ hat wegen x²-4=(x+2)(x-2) zwei Definitionslücken bei x = - und x = 2, D = Q\{-2;2}. Allerdings steht im Zähler auch der Term x-2. Damit kann man kürzen $\frac{x-2}{x^2 - 4}==\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x+2}$.

Brüche kann man kürzen, wenn in Zähler und Nenner der gleiche Faktor vorkommt.

Am gekürzten Term sieht man, dass x = 2 keine Nullstelle ist, da der Zähler 1 nicht gleich 0 ist.

Für die folgenden Tests, in denen Graphen und Funktionsterme gegeben sind, ist es hilfreich sich den Term anzusehen und zu überlegen wo Definitionslücken und Nullstellen auftreten.
Bei einer Definitionslücke hat man oftmals eine senkrechte Asymptote.
Bei der Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse.
Waagrechte Asymptoten hat man, wenn $x \rightarrow -\infty$ oder $x \rightarrow -\infty$ geht. ( $\infty$ ist das Zeichen für unendlich.)
Zur Bestimmung der waagrechten Asymptote gibt es noch einen Trick:
Man weiß vom Graphen der indirekten Proportionalität, dass für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse (y=0) waagrechte Asymptote ist. Für den Term $\frac{2x - 1}{x+1}$ erweitert man den Bruch mit $\frac{1}{x}$, also
$\frac{2x - 1}{x+1}=\frac{\frac{1}{x}(2x - 1)}{\frac{1}{x}(x+1)}$ und löst die Klammern auf. $\frac{\frac{1}{x}(2x - 1)}{\frac{1}{x}(x+1)}= \frac{\frac{1}{x}\cdot2x - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}\cdot x+\frac{1}{x}} =\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$. Im letzten Term geht für $x \rightarrow \pm \infty$ $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ und es bleibt dann nur $\frac{2}{1}= 2$.

Wenn man einen Graphen hat, dann schaut man wo ist die senkrechte Asymptote, wo die waagrechte, gibt es Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen). Da die Werte stets ganze Zahlen sind, kann man es aus den Diagrammen schon ablesen.

Test 1

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.

Test 2

Test 3

Ordne die Definitionsmenge dem richtigen Graph zu.

Test 4

Ordne die Definitionsmenge dem richtigen Term zu.

Bestimme zum Graph die richtigen Asymptoten.

Test 5

x = -1 und y = -1x = -1 und y = 2y = 0 und x = -2x = -1 und y = 1x = 1 und y = 0

Test 6

Bestimme zum Term die richtigen Asymptoten.

x = -2 und x = 2x = 1,5 und y = 1x = 0 und y = 0x = 1 und y = 2x = 1,5 und y = 1,5

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Für Spezialisten oder alle, die noch nicht genug haben:

Finde die richtigen Paare - je ein Funktionsterm und ein Funktionsgraph gehören zusammen. Achte auf die wesentlichen Eigenschaften der Funktion (Nullstelle, Asymptote, Polstelle, Definitionsmenge).

Zum Schluss noch ein paar Aufgaben zum Knobeln. Aufgabe 3: Gib zu diesem Graph den richtigen Funktionsterm an. Finde dazu die Asymptoten, Polstellen und Nullstellen und überlege dir wie diese Dinge im Funktionsterm eingehen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] senkrechte Asymptoten $x = -2$ und $x = 2$, also muss $(x+2)(x-2)$ im Nenner des Bruches stehen Nullstellen: $x = -1$, also muss $x+1$ im Zähler des Bruches stehen waagrechte Asymptote $y = 0$, also ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners Ergebnis: Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktion f mit . Zeichne den Graphen! [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktion f mit . Worin unterscheidet sich dieser Funktionsterm von Term der Aufgabe 2? Wie macht sich das im Graph ersichtlich? Zeichne den Graphen! [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] In Zähler und Nenner des Bruches kommt jeweils der Term $x-2$ vor. Deshalb kann man $x-2$ kürzen. (Siehe auch Lösung zu Aufgabe 2h) ) Für die Definitionsmenge gilt aber weiterhin, dass man $x = 2$ nicht einsetzen darf, da im ursprünglichen Term der Nenner 0 würde, also . Die Funktion stimmt bis auf die Stelle bei $x = 2$ mit der Funktion mit dem Term $\frac{1}{x-2}\$ überein. Der Graph schaut dann so aus: Beachte, dass der blaue Punkt (2; 0,25) im Graphen eine Lücke ist. An dieser Stelle gibt es keinen Punkt!