Quelltext der Seite M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen

__NOCACHE__
Auf dieser Seite soll der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion näher untersucht werden. Dabei geht es um zwei Fragestellungen:<br>
1. Wie finde ich aus einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm.<br>
2. Wie kann man "leicht" aus einem gegebenen Funktionsterm den Graphen angeben.

Zur Beantwortung sind die folgenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen hilfreich. <br>
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die indirekte Proportionalität <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> . Die Funktion ist für <math> x \in Q\setminus \left \{ 0 \right \}</math> definiert. Die Funktionsgleichung ist <math> y = \frac{1}{x}</math> und der Funktionsgraph <br>
<center>[[Datei:1-x-.jpg|350px]]</center>


 '''In allen Applets sind die Funktionsterme mit angegeben. Beachte wie sich die Funktionsterme bei Änderung der Parameter ändern.'''<br>
 '''Stelle den Wert am Schieberegler ein und schaue wo dieser Wert im Funktionsterm auftaucht.''' 

=Definitionslücke - senkrechte Asymptote=

Die Funktion <math>g: x \rightarrow \frac{1}{x-b}</math> ist für <math> x = b </math> nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist <math>D=Q\setminus \left \{ b \right \}</math>. An der Stelle  <math> x = b </math> hat die Funktion <math>g</math> eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. <math> x = b </math> ist eine Polstelle des Graphen. 

{{Aufgaben-blau|1|2=Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{1}{x-b}</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote <math>x = b</math> (<span style="color:#0174DF">&nbsp;blau</span>) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern. <br>
<ggb_applet height="500" width="700"
filename="1_(x-b).ggb" />  <br>
Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.<br> 
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1. <br>
Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst. <br>
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander. <br>
3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2. <br>
Beschreibe wieder was mit dem Graphen von g und der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.<br>
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.<br>
4. Betätige nun den Schieberegler für b beliebig und beobachte was mit dem Graphen von g und der Asymptote bezüglich des Graphen von f passiert. Beschreibe deine Beobachtungen. }}

{{Lösung versteckt|1. Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = 0</math> .

2. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 1 in positive x-Richtung verschoben. <br>
Ebenso wird die Asymptote um 1 in positive x-Richtung verschoben.<br>
Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x-1}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = 1</math> .

3. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 2 in negative x-Richtung verschoben. <br>
Ebenso wird die Asymptote um 2 in negative x-Richtung verschoben.<br>
Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x-(-2)}=\frac{1}{x+2}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = -2</math> .

4. Der Graph von f wird um b in x-Richtung verschoben. <br>
Ist b > 0, dann erfolgt die Verschiebung von f um b in positive x-Richtung, <br>
ist b < 0, erfolgt die Verschiebung um den Betrag von b, in negative x-Richtung. <br>
Ebenso wird die Asymptote verschoben.  }}


{{Merksatz|MERK=Den Graphen der Funktion <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{1}{x-b}</math> erhältst du aus dem Graphen der  von <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> indem du den Graphen von <math>f</math> um <math>b</math> in Richtung der x-Achse verschiebst.<br>
Dabei wird die senkrechte Asymptote <math>x = 0</math> ebenso um <math>b</math> in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{1}{x-b}</math> ist <math>x = b</math>.


Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse<br>
wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und <br>
wenn b negativ (b<0) ist in negative x-Richtung. }}


'''Zusammenfassung:'''

Für die anfangs gestellten zwei Fragen hast du nun folgende Antworten:
 
1. Hat der Graph für <math>x = b</math> eine Definitionslücke und senkrechte Asymptote, dann steht im Nenner der <br>
gebrochen-rationalen Funktion der Term <math>x-b</math> oder eine Potenz <math>(x-b)^n</math>.

2. Ist <math>f(x)=\frac{1}{x-b}</math>, dann erhältst du den Graphen durch Verschiebung des Graphen von <math>f</math> <br>
um b in Richtung der x-Achse. Die Asymptote ist <math>x=b</math>

3. Beachte dabei, dass im Nenner <math>x-b</math> steht. D.h. wenn du für <math>b</math> eine negative Zahl z.B. b = -3 einsetzt, dann steht im Nenner <math>b-(-3)=b+3</math>, also die Zahl mit anderem Vorzeichen!


=Spiegelung an der x-Achse=

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{a}{x}</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet.  Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = -1 und a = 1 ändern. <br>

<ggb_applet height="500" width="700"
filename="a_x.ggb" />


{{Aufgaben-blau|2|2=Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.<br>
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = -1 stellst?
Beschreibe deine Beobachtung.}}

{{Lösung versteckt|1=Man erhält den roten Graphen für a = -1 , wenn man den grünen Graphen an der x-Achse spiegelt. }}


{{Merksatz|MERK=Den (roten) Graphen der Funktion <math>g</math> mit <math>g(x) = -\frac{1}{x} </math> erhältst du aus dem (grünen) Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{1}{x} </math>, in dem du den (grünen) Graphen von <math>f</math> an der x-Achse spiegelst. }}

'''Anmerkung:'''<br>
Du könntest natürlich auch sagen, dass du den grünen Graph an der y-Achse spiegelst. Das Ergebnis ist das gleiche!<br>
'''Aber''' wenn du die Funktionsterme anschaust dann hat die Funktion <math>f</math> den Funktionswert <math>y_f=\frac{1}{x}</math>. Und die Funktion <math>g</math> hat den Funktionswert <math>y_g=-\frac{1}{x}</math>, also ist <math> y_g=-y_f</math>, der y-Wert ändert also sein Vorzeichen. Das entspricht der Spiegelung an der x-Achse.


=Streckung und Stauchung=

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{a}{x}</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet.  Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = 1 und a = 2 ändern. Desweiteren sind für x = -2 und x = 1 die y-Strecken von der x-Achse zum Graphen eingezeichnet.<br>
<ggb_applet height="500" width="700"
filename="2_x.ggb" />

{{Aufgaben-blau|3|2=Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.<br>
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = 2 stellst?<br>
Beachte insbesondere die Funktionswerte für x = -2 und x = 1.<br>
Beschreibe deine Beobachtung.<br>
Was passiert geometrisch mit dem grünen Graphen, damit du den roten Graphen erhältst?}}

{{Lösung versteckt|1=Stellt man den Schieberegler auf a = 2, dann werden die Abstände der Punkte auf den Graphen<br>
von der x-Achse größer. Bei x = -2 ist zuerst der Abstand des Punktes (-2;-0,5) von der x-Achse 0,5. Nach Bestätigung<br>
des Reglers ist der Abstand des Punktes (-2;-1) auf dem roten Graphen von der x-Achse 1. <br>
Aus dem y-Wert -0,5 wird also der y-Wert -1. 

Ebenso ist es bei x = 1. Aus dem y-Wert 1 wird der y-Wert 2. 

Alle y-Werte <math>\frac{1}{x}</math> der Funktion f werden mit a multipliziert und man erhält den <math>a \cdot \frac{1}{x}=\frac{a}{x}</math> .

Man muss den grünen Graphen in Richtung der y-Achse um den Faktor 2 strecken, dann erhält man den roten Graphen. }}


{{Aufgaben-blau|4|2=Was passiert, wenn a auch andere positive Werte annimmt? <br>
Im folgenden Applet kannst du den Schieberegler für a zwischen 0,1 und 4 variieren. 

<ggb_applet height="500" width="700"
filename="a2_x.ggb" />

Was stellst du fest?}}

{{Lösung versteckt|1=Wenn a > 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von <math>f</math>) um den Faktor a in y-Richtung gestreckt und man erhält den roten Graph (Graph von <math>g</math>) .

Wenn 0 < a < 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von <math>f</math>) um den Faktor a in y-Richtung gestaucht und man erhält den roten Graph (Graph von <math>g</math>) .}}


Und was ist, wenn a nun auch noch negativ ist?

{{Aufgaben-blau|5|2= Im folgenden Applet kannst du a zwischen -4 und 4 variieren. <br>
<ggb_applet height="500" width="700"
filename="a3_x.ggb" />

Was stellst du fest?}}


{{Merksatz|MERK=Bei der Funktion <math>g</math> mit <math>g(x)=\frac{a}{x}</math> werden die Funktionswerte der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> mit <math>a</math> multipliziert. 

Wenn a > 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von <math>f</math>) um den Faktor a in y-Richtung gestreckt und man erhält den roten Graph (Graph von <math>g</math>) .

Wenn 0 < a < 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von <math>f</math>) um den Faktor a in y-Richtung gestaucht und man erhält den roten Graph (Graph von <math>g</math>) . 

Ist a negativ, dann spiegelt man den Graph von <math>f</math> zuerst an der x-Achse  und streckt bzw. staucht ihn danach. }}


=Verschiebung in y-Richtung=

{{Aufgaben-blau|6|2=Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{1}{x}+c</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet.  Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von c ändern. <br>

<ggb_applet height="600" width="700"
filename="1_x+c.ggb" />

Der Schieberegler für c steht auf c = 0. Die Graphen von f und g liegen aufeinander.<br>
Betätige nun den Schieberegler für c. <br>
Wie entstehen die blauen Pfeile und welche Besonderheiten haben sie?
Was stellst du für die Funktionsgraphen von f und g fest? }}

{{Lösung versteckt|1=Die blauen Pfeile verbinden für gleiches x die entsprechenden y-Werte auf den Graphen von f und g.<br>
Die Pfeile sind alle gleich lang und parallel. Ihre Länge ist der Betrag von c. <br>
Man erhält den Graph von g indem man den Graph von f um c in Richtung der y-Achse verschiebt. }}


{{Merksatz|MERK=Zu jedem Funktionswert <math>\frac{1}{x}</math> der Funktion <math>f</math> wird der Wert von <math>c</math> addiert und man erhält <math>\frac{1}{x}+c</math> .

Man erhält den Graph der Funtkion <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{1}{x}+c</math> in dem man den Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> um c in y-Richtung versschiebt.

Ist c positiv (c > 0)erfolgt die Verschiebung in positive y-Richtung, <br>
ist c negativ (c < 0) so erfolgt die Verschiebung in negative y-Richtung.  }}

=Nullstellen=

Du kennst die Aussage:
 
 Ein Bruch hat den Wert Null, wenn sein Zähler den Wert Null hat.

Dies wollen wir nun verwenden und gebrochen-rationale Funktionen vom Typ <math>g</math> mit <math>g(x)=\frac{x-d}{x}</math> betrachten. Im Zähler steht nun ein linearer Term <math>x-d</math> bei dem der Parameter d für eine rationale Zahl steht.<br>
Da nun im Zähler ein linearer Term steht, kann dieser den Wert Null annehmen. Dies passiert, wenn <math>x = d</math> ist. Also ist  <math>x = d</math> eine Nullstelle der Funktion <math>g</math>.

{{Aufgaben-blau|7|2=Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{x-d}{x}</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote <math>y = 1</math> für <math> x \rightarrow \pm \infty</math> (<span style="color:#0174DF">&nbsp;blau</span>) und die Nullstelle N bei x = d (<span style="color:#0174DF">&nbsp;blau</span>) eingezeichnet.
Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von d ändern. <br>

<ggb_applet height="500" width="700"
filename="(x-d)_x.ggb" />

Der Schieberegler steht in der Stellung d = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler für d betätigst? Beschreibe deine Beobachtung. }}

{{Lösung versteckt|1=Betätigt man den Schieberegler dann ändert die Nullstelle ihre Lage. <br>
Die Definitionslücke bzw. Polstelle und die senkrecht Asymptote x = 0 bleiben unverändert.<br>
Die waagrechte Asymptotge y = 1 ändert sich nicht.}}

=waagrechte Asymptote=

Bei den Beispielen zu "Nullstelle" ist eine waagrechte Asymptote für <math> x \rightarrow \pm \infty</math> eingezeichnet. Diese Gerade ist für alle Beispiele von Aufgabe 7 waagrechte Asymptote. Für andere gebrochen-rationale Funktionen kann die waagrechte Asymptote auch anders liegen. Dies wird in den nächsten Aufgaben veranschaulicht.

{{Aufgaben-blau|8|2=Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität g mit <math> g(x) = \frac{ax}{x-1}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph eingezeichnet. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote <math>y = a</math> für <math> x \rightarrow \pm \infty</math> (<span style="color:#0174DF">&nbsp;blau</span>) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a ändern. <br>

<ggb_applet height="500" width="700"
filename="ax_(x-1).ggb" />

Gib die Definitionslücke und die Definitionsmenge der Funktion g an.<br>
Was passiert wenn a = 0 ist?<br>
Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.<br>
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler für a betätigst? Beschreibe deine Beobachtung. }}

{{Lösung versteckt|1=Für <math>x=1</math> ist der Funktionsterm nicht definiert. Die Definitionsmenge ist D = Q\{0}.<br>
Für a = 0 ist g(x) = 0, also die konstante Funktion 0, die allen x-Werten den y-Wert y = 0 zuordnet.<br>
Ändert man mit dem Schieberegler den Wert von a, dann "verschiebt" (er wird auch ncoh gestreckt oder gestaucht) sich der Graph von g und die waagrechte Asymptote verschiebt sich auch. Für a = 1 ist die waagrechte Asymptote y = 1. Variiert man a, dann hat die waagrechte Asymptote die Gleichung y = a.
}}


Graphisch hast du in der Aufgabe 8 gesehen, dass die Funktionswerte für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> sich der waagrechten Asymptote <math>y=a</math> beliebig nahe annähern. Dies kann man auch am Funktionsterm sehen. Man betrachtet den Funktionsterm <math>\frac{ax}{x-1}</math> für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>. Setzt man für x sehr sehr große Zahlen ein, dann steht dort sowas wie "<math>\frac{\infty}{\infty}</math>". Was soll das sein????? <math>\infty</math> ist kein Element der rationalen Zahlen, also können wir auch nicht mit <math>\infty</math> rechnen!<br>
Am Graphen sehen wir ja das Ergebnis, dass für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die Gerade <math>y = a</math> waagrechte Asymptote ist.

Mit einem Trick kann man es aber auch am Funktionsterm sehen. Dazu klammert man in Zähler und Nenner x aus und kürzt x.<br>
<math>\frac{ax}{x-1}=\frac{x \cdot a}{x\cdot (1-\frac{1}{x})}=\frac{a}{1-\frac{1}{x}}</math><br>
Im Nenner steht nun der Term <math>1-\frac{1}{x}</math>. Wenn nun <math>x</math> gegen <math>\infty </math> geht, dann wird <math>\frac{1}{x}</math> sehr sehr kleiner, <math>\frac{1}{x}</math> geht gegen 0 (das sieht du auch oben am Anfang der Seite beim Graphen der indirekten Proportionalitität). Wenn <math>\frac{1}{x}</math> gegen 0 geht für x gegen <math>\infty</math>, dann wir geht der Nenner <math>1-\frac{1}{x}</math> gegen den Wert 1. Und das ist eine Eigenschaft der Asymptote, dass sich die Funktionswerte ihr beliebig nahe annähern.<br>
Für den Fall <math> x \rightarrow \pm \infty</math> darf man im Funktionsterm dann auch <math>\frac{ax}{x-1}=\frac{a}{1-\frac{1}{x}} \rightarrow \frac{a}{1-0} = a </math> schreiben.

Dies soll nun am Beispiel in Aufgabe 9 nochmals gemacht werden. Hier steht nun im Nenner der Term 2x-1. 

{{Aufgaben-blau|9|2=Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{ax}{2x-1}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph eingezeichnet. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote <math>y = a</math> für <math> x \rightarrow \pm \infty</math> (<span style="color:#0174DF">&nbsp;blau</span>) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a ändern. <br>

<ggb_applet height="500" width="700"
filename="ax_(2x-1).ggb" />

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.<brf>
Was ist hier anders als in Aufgabe 8?<br>
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler für a betätigst? Beschreibe deine Beobachtung. <br>
Wende den "Trick" von eben auf den Funktionsterm von g an und berechne die Gleichung der Asymptote. }}

{{Lösung versteckt|1=Der Term im Nenner der Funktion g ist nicht mehr x - 1, sondern 2x - 1. Außerdem hat die waagrechte Asymptote nicht mehr die Gleichung y = 1, sondern <math>y=\frac{1}{2}</math> .<br>
Betätigt man den Schieberegler  "verschiebt" sich der Funktionsgraph und die waagrechte Asymptote. Tatsächlich wird der Graph von g auch gestreckt (,wenn a < -1 oder a > 1 ist) oder gestaucht (,wenn -1 < a  < 1 ist). 

Der Trick war:<br>
1. In Zähler und Nenner x ausklammern.<br>
2. x kürzen.<br>
2. x gegen <math>\infty</math> gehen lassen und schauen was der Nenner macht.

<math>\frac{ax}{2x-1}=\frac{x \cdot a}{x\cdot (2-\frac{1}{x})}=\frac{a}{2-\frac{1}{x}}</math><br>
Für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> geht <math>\frac{1}{x}</math> wieder gegen 0, der Nennerterm  <math>2 - \frac{1}{x}</math> dann gegen 2 und der Funktionsterm <math>\frac{ax}{2x-1}=\frac{a}{2-\frac{1}{x}}</math> also gegen <math>\frac{a}{2}</math>. Die Gleichung der waagrechten Asymptote ist also <math>y=\frac{a}{2}</math>.<br>
Also könnte man auch <math>\frac{ax}{2x-1}=\frac{a}{2-\frac{1}{x}} \rightarrow \frac{a}{2-0}=\frac{a}{2}</math> schreiben. 
}}

=Vorzeichenwechsel=

Beim Graphen der Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> sieht man, dass bei Annäherung von x an 0 die y-Werte unterschiedliches Verhalten zeigen. 

<center>[[Datei:1-x-.jpg]]</center>

Nähert man sich von links (also von negativen Zahlen) der 0, so werden die y-Werte immer kleiner (d.h. sie werden vom Betrag her immer größer, aber da sie negativ sind, gibt das ganz große negative Zahlen), sie gehen also gegen <math>- \infty</math> .<br>
Nähert man sich von rechts (also von positiven Zahlen) der 0, so werden die y-Werte immer größer (d.h. da sie positiv sind wird ihr Betrag immer größer) und sie gehen gegen <math> \infty</math>.<br>
Je nach Annäherung an 0 gehen die y-Werte einmal nach <math>- \infty</math> und von der anderen Seite nach <math> \infty</math>. Man spricht hier von einem '''Vorzeichenwechsel''' -/+ (man geht den üblichen Weg für x von links nach rechts).


Anders verhält es sich beim Graphen der Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> .

<center>[[Datei:Kh-rf-graph-9.jpg]]</center>

Da im Nenner <math>x^2</math> steht, spielt das Vorzeichen von x keine Rolle. Egal ob x negativ oder positiv ist <math>x^2</math> ist stets positiv. Wenn x nun gegen 0 geht (egal von welcher Seite, ob vom negativen oder vom positiven), dann wird der y-Wert <math>\frac{1}{x^2}</math> immer größer und geht in beiden Fällen gegen <math>\infty</math>. Hier tritt kein Vorzeichenwechsel auf, da hier die y-Werte stets positiv sind.

{{Aufgaben-blau|10|2=In diesem Applet kannst du mit dem Schieberegler die den Grad n der x-Potenz der Funktion <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^n}</math> variieren. 

<ggb_applet height="500" width="700"
filename="1_x^n.ggb" />  

Für welche n tritt "bei x = 0" ein Vorzeichenwechsel auf, bei welchen n nicht?   }}


{{Lösung versteckt|1=Bei ungeraden n (, also n = 1, 3, 5, ....) tritt ein Vorzeichenwechsel auf.<br>
Bei geraden n (, also n = 2, 4,  6, ...) tritt kein Vorzeichenwechsel auf. }}