M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen

Auf dieser Seite soll der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion näher untersucht werden. Dabei geht es um zwei Fragestellungen:
1. Wie finde ich aus einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm.
2. Wie kann man "leicht" aus einem gegebenen Funktionsterm den Graphen angeben.

Zur Beantwortung sind die folgenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen hilfreich.
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die indirekte Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ . Die Funktion ist für $x \in Q\setminus \left \{ 0 \right \}$ definiert. Die Funktionsgleichung ist $y = \frac{1}{x}$ und der Funktionsgraph

In allen Applets sind die Funktionsterme mit angegeben. Beachte wie sich die Funktionsterme bei Änderung der Parameter ändern.

Stelle den Wert am Schieberegler ein und schaue wo dieser Wert im Funktionsterm auftaucht. 

Definitionslücke - senkrechte Asymptote

Die Funktion $g: x \rightarrow \frac{1}{x-b}$ ist für $x = b$ nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist $D=Q\setminus \left \{ b \right \}$. An der Stelle $x = b$ hat die Funktion $g$ eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. $x = b$ ist eine Polstelle des Graphen.

  Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ( rot) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote $x = b$ ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.

Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1.
Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2.
Beschreibe wieder was mit dem Graphen von g und der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
4. Betätige nun den Schieberegler für b beliebig und beobachte was mit dem Graphen von g und der Asymptote bezüglich des Graphen von f passiert. Beschreibe deine Beobachtungen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x}$ und die Gleichung der Asymptote $x = 0$ .

2. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x-1}$ und die Gleichung der Asymptote $x = 1$ .

3. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x-(-2)}=\frac{1}{x+2}$ und die Gleichung der Asymptote $x = -2$ .

4. Der Graph von f wird um b in x-Richtung verschoben.
Ist b > 0, dann erfolgt die Verschiebung von f um b in positive x-Richtung,
ist b < 0, erfolgt die Verschiebung um den Betrag von b, in negative x-Richtung.

Ebenso wird die Asymptote verschoben.

Merke: Den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ erhältst du aus dem Graphen der von $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$ indem du den Graphen von $f$ um $b$ in Richtung der x-Achse verschiebst. Dabei wird die senkrechte Asymptote $x = 0$ ebenso um $b$ in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ist $x = b$. Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und wenn b negativ (b<0) ist in negative x-Richtung.

Zusammenfassung:

Für die anfangs gestellten zwei Fragen hast du nun folgende Antworten:

1. Hat der Graph für $x = b$ eine Definitionslücke und senkrechte Asymptote, dann steht im Nenner der
gebrochen-rationalen Funktion der Term $x-b$ oder eine Potenz $(x-b)^n$.

2. Ist $f(x)=\frac{1}{x-b}$, dann erhältst du den Graphen durch Verschiebung des Graphen von $f$
um b in Richtung der x-Achse. Die Asymptote ist $x=b$

3. Beachte dabei, dass im Nenner $x-b$ steht. D.h. wenn du für $b$ eine negative Zahl z.B. b = -3 einsetzt, dann steht im Nenner $b-(-3)=b+3$, also die Zahl mit anderem Vorzeichen!

Spiegelung an der x-Achse

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{a}{x}$ ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = -1 und a = 1 ändern.

  Aufgabe 2

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = -1 stellst? Beschreibe deine Beobachtung.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Man erhält den roten Graphen für a = -1 , wenn man den grünen Graphen an der x-Achse spiegelt.

Merke: Den (roten) Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = -\frac{1}{x}$ erhältst du aus dem (grünen) Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$, in dem du den (grünen) Graphen von $f$ an der x-Achse spiegelst.

Anmerkung:
Du könntest natürlich auch sagen, dass du den grünen Graph an der y-Achse spiegelst. Das Ergebnis ist das gleiche!
Aber wenn du die Funktionsterme anschaust dann hat die Funktion $f$ den Funktionswert $y_f=\frac{1}{x}$. Und die Funktion $g$ hat den Funktionswert $y_g=-\frac{1}{x}$, also ist $y_g=-y_f$, der y-Wert ändert also sein Vorzeichen. Das entspricht der Spiegelung an der x-Achse.

Streckung und Stauchung

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{a}{x}$ ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = 1 und a = 2 ändern. Desweiteren sind für x = -2 und x = 1 die y-Strecken von der x-Achse zum Graphen eingezeichnet.

  Aufgabe 3

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = 2 stellst?
Beachte insbesondere die Funktionswerte für x = -2 und x = 1.
Beschreibe deine Beobachtung.
Was passiert geometrisch mit dem grünen Graphen, damit du den roten Graphen erhältst?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Stellt man den Schieberegler auf a = 2, dann werden die Abstände der Punkte auf den Graphen
von der x-Achse größer. Bei x = -2 ist zuerst der Abstand des Punktes (-2;-0,5) von der x-Achse 0,5. Nach Bestätigung
des Reglers ist der Abstand des Punktes (-2;-1) auf dem roten Graphen von der x-Achse 1.
Aus dem y-Wert -0,5 wird also der y-Wert -1.

Ebenso ist es bei x = 1. Aus dem y-Wert 1 wird der y-Wert 2.

Alle y-Werte $\frac{1}{x}$ der Funktion f werden mit a multipliziert und man erhält den $a \cdot \frac{1}{x}=\frac{a}{x}$ .

Man muss den grünen Graphen in Richtung der y-Achse um den Faktor 2 strecken, dann erhält man den roten Graphen.

  Aufgabe 4

Was passiert, wenn a auch andere positive Werte annimmt?
Im folgenden Applet kannst du den Schieberegler für a zwischen 0,1 und 4 variieren.

Was stellst du fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Wenn a > 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestreckt und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) .

Wenn 0 < a < 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestaucht und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) .

Und was ist, wenn a nun auch noch negativ ist?

  Aufgabe 5

Im folgenden Applet kannst du a zwischen -4 und 4 variieren.

Was stellst du fest?

Merke: Bei der Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{a}{x}$ werden die Funktionswerte der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{x}$ mit $a$ multipliziert. Wenn a > 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestreckt und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) . Wenn 0 < a < 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestaucht und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) . Ist a negativ, dann spiegelt man den Graph von $f$ zuerst an der x-Achse und streckt bzw. staucht ihn danach.

Verschiebung in y-Richtung

  Aufgabe 6

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{1}{x}+c$ ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von c ändern.

Der Schieberegler für c steht auf c = 0. Die Graphen von f und g liegen aufeinander.
Betätige nun den Schieberegler für c.
Wie entstehen die blauen Pfeile und welche Besonderheiten haben sie? Was stellst du für die Funktionsgraphen von f und g fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die blauen Pfeile verbinden für gleiches x die entsprechenden y-Werte auf den Graphen von f und g.
Die Pfeile sind alle gleich lang und parallel. Ihre Länge ist der Betrag von c.

Man erhält den Graph von g indem man den Graph von f um c in Richtung der y-Achse verschiebt.

Merke: Zu jedem Funktionswert $\frac{1}{x}$ der Funktion $f$ wird der Wert von $c$ addiert und man erhält $\frac{1}{x}+c$ . Man erhält den Graph der Funtkion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x}+c$ in dem man den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{x}$ um c in y-Richtung versschiebt. Ist c positiv (c > 0)erfolgt die Verschiebung in positive y-Richtung, ist c negativ (c < 0) so erfolgt die Verschiebung in negative y-Richtung.

Nullstellen

Du kennst die Aussage:

Ein Bruch hat den Wert Null, wenn sein Zähler den Wert Null hat.

Dies wollen wir nun verwenden und gebrochen-rationale Funktionen vom Typ $g$ mit $g(x)=\frac{x-d}{x}$ betrachten. Im Zähler steht nun ein linearer Term $x-d$ bei dem der Parameter d für eine rationale Zahl steht.
Da nun im Zähler ein linearer Term steht, kann dieser den Wert Null annehmen. Dies passiert, wenn $x = d$ ist. Also ist $x = d$ eine Nullstelle der Funktion $g$.

  Aufgabe 7

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{x-d}{x}$ ( rot) eingezeichnet. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote $y = 1$ für $x \rightarrow \pm \infty$ ( blau) und die Nullstelle N bei x = d ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von d ändern.

Der Schieberegler steht in der Stellung d = 1. Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler für d betätigst? Beschreibe deine Beobachtung.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Betätigt man den Schieberegler dann ändert die Nullstelle ihre Lage.
Die Definitionslücke bzw. Polstelle und die senkrecht Asymptote x = 0 bleiben unverändert.

Die waagrechte Asymptotge y = 1 ändert sich nicht.

waagrechte Asymptote

Bei den Beispielen zu "Nullstelle" ist eine waagrechte Asymptote für $x \rightarrow \pm \infty$ eingezeichnet. Diese Gerade ist für alle Beispiele von Aufgabe 7 waagrechte Asymptote. Für andere gebrochen-rationale Funktionen kann die waagrechte Asymptote auch anders liegen. Dies wird in den nächsten Aufgaben veranschaulicht.

  Aufgabe 8

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität g mit $g(x) = \frac{ax}{x-1}$ ( grün) und der Graph eingezeichnet. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote $y = a$ für $x \rightarrow \pm \infty$ ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a ändern.

Gib die Definitionslücke und die Definitionsmenge der Funktion g an.
Was passiert wenn a = 0 ist?
Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler für a betätigst? Beschreibe deine Beobachtung.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Für $x=1$ ist der Funktionsterm nicht definiert. Die Definitionsmenge ist D = Q\{0}.
Für a = 0 ist g(x) = 0, also die konstante Funktion 0, die allen x-Werten den y-Wert y = 0 zuordnet.

Ändert man mit dem Schieberegler den Wert von a, dann "verschiebt" (er wird auch ncoh gestreckt oder gestaucht) sich der Graph von g und die waagrechte Asymptote verschiebt sich auch. Für a = 1 ist die waagrechte Asymptote y = 1. Variiert man a, dann hat die waagrechte Asymptote die Gleichung y = a.

Graphisch hast du in der Aufgabe 8 gesehen, dass die Funktionswerte für $x \rightarrow \pm \infty$ sich der waagrechten Asymptote $y=a$ beliebig nahe annähern. Dies kann man auch am Funktionsterm sehen. Man betrachtet den Funktionsterm $\frac{ax}{x-1}$ für $x \rightarrow \pm \infty$. Setzt man für x sehr sehr große Zahlen ein, dann steht dort sowas wie "$\frac{\infty}{\infty}$". Was soll das sein????? $\infty$ ist kein Element der rationalen Zahlen, also können wir auch nicht mit $\infty$ rechnen!
Am Graphen sehen wir ja das Ergebnis, dass für $x \rightarrow \pm \infty$ die Gerade $y = a$ waagrechte Asymptote ist.

Mit einem Trick kann man es aber auch am Funktionsterm sehen. Dazu klammert man in Zähler und Nenner x aus und kürzt x.
$\frac{ax}{x-1}=\frac{x \cdot a}{x\cdot (1-\frac{1}{x})}=\frac{a}{1-\frac{1}{x}}$
Im Nenner steht nun der Term $1-\frac{1}{x}$. Wenn nun $x$ gegen $\infty$ geht, dann wird $\frac{1}{x}$ sehr sehr kleiner, $\frac{1}{x}$ geht gegen 0 (das sieht du auch oben am Anfang der Seite beim Graphen der indirekten Proportionalitität). Wenn $\frac{1}{x}$ gegen 0 geht für x gegen $\infty$, dann wir geht der Nenner $1-\frac{1}{x}$ gegen den Wert 1. Und das ist eine Eigenschaft der Asymptote, dass sich die Funktionswerte ihr beliebig nahe annähern.
Für den Fall $x \rightarrow \pm \infty$ darf man im Funktionsterm dann auch $\frac{ax}{x-1}=\frac{a}{1-\frac{1}{x}} \rightarrow \frac{a}{1-0} = a$ schreiben.

Dies soll nun am Beispiel in Aufgabe 9 nochmals gemacht werden. Hier steht nun im Nenner der Term 2x-1.

  Aufgabe 9

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{ax}{2x-1}$ ( grün) und der Graph eingezeichnet. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote $y = a$ für $x \rightarrow \pm \infty$ ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a ändern.

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.<brf> Was ist hier anders als in Aufgabe 8?
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler für a betätigst? Beschreibe deine Beobachtung.
Wende den "Trick" von eben auf den Funktionsterm von g an und berechne die Gleichung der Asymptote.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Der Term im Nenner der Funktion g ist nicht mehr x - 1, sondern 2x - 1. Außerdem hat die waagrechte Asymptote nicht mehr die Gleichung y = 1, sondern $y=\frac{1}{2}$ .
Betätigt man den Schieberegler "verschiebt" sich der Funktionsgraph und die waagrechte Asymptote. Tatsächlich wird der Graph von g auch gestreckt (,wenn a < -1 oder a > 1 ist) oder gestaucht (,wenn -1 < a < 1 ist).

Der Trick war:
1. In Zähler und Nenner x ausklammern.
2. x kürzen.
2. x gegen $\infty$ gehen lassen und schauen was der Nenner macht.

$\frac{ax}{2x-1}=\frac{x \cdot a}{x\cdot (2-\frac{1}{x})}=\frac{a}{2-\frac{1}{x}}$
Für $x \rightarrow \pm \infty$ geht $\frac{1}{x}$ wieder gegen 0, der Nennerterm $2 - \frac{1}{x}$ dann gegen 2 und der Funktionsterm $\frac{ax}{2x-1}=\frac{a}{2-\frac{1}{x}}$ also gegen $\frac{a}{2}$. Die Gleichung der waagrechten Asymptote ist also $y=\frac{a}{2}$.

Also könnte man auch $\frac{ax}{2x-1}=\frac{a}{2-\frac{1}{x}} \rightarrow \frac{a}{2-0}=\frac{a}{2}$ schreiben.

Vorzeichenwechsel

Beim Graphen der Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ sieht man, dass bei Annäherung von x an 0 die y-Werte unterschiedliches Verhalten zeigen.

Nähert man sich von links (also von negativen Zahlen) der 0, so werden die y-Werte immer kleiner (d.h. sie werden vom Betrag her immer größer, aber da sie negativ sind, gibt das ganz große negative Zahlen), sie gehen also gegen $- \infty$ .
Nähert man sich von rechts (also von positiven Zahlen) der 0, so werden die y-Werte immer größer (d.h. da sie positiv sind wird ihr Betrag immer größer) und sie gehen gegen $\infty$.
Je nach Annäherung an 0 gehen die y-Werte einmal nach $- \infty$ und von der anderen Seite nach $\infty$. Man spricht hier von einem Vorzeichenwechsel -/+ (man geht den üblichen Weg für x von links nach rechts).

Anders verhält es sich beim Graphen der Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}$ .

Da im Nenner $x^2$ steht, spielt das Vorzeichen von x keine Rolle. Egal ob x negativ oder positiv ist $x^2$ ist stets positiv. Wenn x nun gegen 0 geht (egal von welcher Seite, ob vom negativen oder vom positiven), dann wird der y-Wert $\frac{1}{x^2}$ immer größer und geht in beiden Fällen gegen $\infty$. Hier tritt kein Vorzeichenwechsel auf, da hier die y-Werte stets positiv sind.

  Aufgabe 10

In diesem Applet kannst du mit dem Schieberegler die den Grad n der x-Potenz der Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x^n}$ variieren.

Für welche n tritt "bei x = 0" ein Vorzeichenwechsel auf, bei welchen n nicht?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Bei ungeraden n (, also n = 1, 3, 5, ....) tritt ein Vorzeichenwechsel auf.

Bei geraden n (, also n = 2, 4, 6, ...) tritt kein Vorzeichenwechsel auf.