M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(4 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
  
 
Du hast für die in direkte Proportionalität <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat. <br>
 
Du hast für die in direkte Proportionalität <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat. <br>
−
[[Datei:1-x-.jpg]]<br>
+
[[Datei:1-x-.jpg|300px]]<br>
 
Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach <math>- \infty</math> und wenn x positiv ist nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asympote immer mehr an.
 
Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach <math>- \infty</math> und wenn x positiv ist nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asympote immer mehr an.
  
  
 
Anders schaut es schon bei dieser Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.<br>
 
Anders schaut es schon bei dieser Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.<br>
−
[[Datei:1 durch x^2.jpg]]<br>
+
[[Datei:1 durch x^2.jpg|400px]]<br>
 
Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte  an 0 nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asymptote immer mehr an.
 
Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte  an 0 nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asymptote immer mehr an.
  
  
 
Die Funktion Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.<br>
 
Die Funktion Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.<br>
−
[[Datei:1dxq.jpg]]<br>
+
[[Datei:1dxq.jpg|400px]]<br>
−
Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an.  
+
Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach <math>-\infty</math> oder <math>\infty</math>.
−
 
+
−
Du hast auch schon gesehen (Aufgabe S. 117/11), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.<br>
+
−
[[Datei:117-11_2.jpg]]<br>
+
−
Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.
+
  
  
 +
{{Merke|1=Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke '''Polstelle'''.}}
  
  
 +
Du hast auch schon gesehen (http://rsg.zum.de/wiki/Gebrochen-rationale_Funktionen_8 Aufgabe 9 2.), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.<br>
 +
[[Datei:117-11_2.jpg|700px]]<br>
 +
Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.
  
 +
{{Aufgaben-blau|1=2|2=
 +
Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
 +
}}<br>
 +
Beachte, dass eine Postelle als Definitionslücke mit Asymptote hauptsächlich eine Nullstelle des Nenners ist.
  
 +
<div class="zuordnungs-quiz">
  
 +
{|
 +
| <math>f(x) = \frac{x-12}{2x}</math> || <math>x = 0 </math>
 +
|-
 +
| <math>f(x) = \frac{2x-6}{5}</math> || keine Polstelle
 +
|-
 +
| <math>f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x}</math> || <math>x_1 = 0; x_2 = 2</math>
 +
|-
 +
| <math>f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x}</math> ||  <math>x_1 = -2; x_2 = 0</math>
 +
|-
 +
| <math>f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64}</math> ||  <math>x_1 = -8; x_2 = 8</math> 
 +
|}
 +
</div>
  
  
  
  
 +
Für <math> |x| \rightarrow  \infty </math> treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.<br>
 
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.
 
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.
  
Zeile 46: Zeile 64:
  
  
−
{{Merke|1=Für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können. }}
+
{{Merke|1=Für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können. }}

Aktuelle Version vom 24. Juli 2020, 19:43 Uhr

Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.

Du hast für die in direkte Proportionalität f: x \rightarrow \frac{1}{x} gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat.
1-x-.jpg
Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach - \infty und wenn x positiv ist nach \infty und nähern sich der Asympote immer mehr an.


Anders schaut es schon bei dieser Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x^2} aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.
1 durch x^2.jpg
Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte an 0 nach \infty und nähern sich der Asymptote immer mehr an.


Die Funktion Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1} hat wegen x2-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.
1dxq.jpg
Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach -\infty oder \infty.


30px   Merke

Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke Polstelle.


Du hast auch schon gesehen (http://rsg.zum.de/wiki/Gebrochen-rationale_Funktionen_8 Aufgabe 9 2.), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.
117-11 2.jpg
Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.


30px   Aufgabe 2

Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!


Beachte, dass eine Postelle als Definitionslücke mit Asymptote hauptsächlich eine Nullstelle des Nenners ist.

f(x) = \frac{x-12}{2x} x = 0
f(x) = \frac{2x-6}{5} keine Polstelle
f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x} x_1 = 0; x_2 = 2
f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x} x_1 = -2; x_2 = 0
f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64} x_1 = -8; x_2 = 8



Für |x| \rightarrow \infty treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.


30px   Aufgabe

Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3} für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

Die senkrechte Asymptote ist für alle Fälle bei x = 1 und ändert sich nicht.
Ist n = 1 oder n = 2 (die x-Potenz im Zähler ist x oder x2 ist kleiner als die Zählerpotenz x3 im Nenner), dann die x-Achse y = 0 für x \rightarrow \pm \infty waagrechte Asymptote.
Bei n = 3 (man hat hier x3 als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür x \rightarrow \pm \infty waagrechte Asymptote.

Bei n = 4 wird die Asymptote für für x \rightarrow \pm \infty sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.


30px   Merke

Für x \rightarrow \pm \infty haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können.

Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=M8_-_Beispiele_weiterer_gebrochen-rationaler_Funktionen&oldid=10490“