Version vom 6. Januar 2021, 08:06 Uhr

Bei den linearen Funktionen war es nützlich die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse war der y-Abschnitt t und mit Hilfe der Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) konnte man leicht die Steigung mbestimmen.

Bei den quadratischen Funktionen geht dies ähnlich. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist durch f(0) gegeben. Die Nullstelle/Nullstellen erhält man durch Lösen der Gleichung f(x) = 0.
Bei den Übungen zu den quadratischen Funktionen hast du bei Aufgabe 1 und Aufgabe 2 gesehen, dass eine Parabel zwei Nullstellen oder keine Nullstelle haben kann. Von der Normalparabel kennst du, dass sie eine Nullstelle hat.

Um die Nullstellen zu bestimmen muss man die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 finden.
Für eine quadratische Funktion führt dies zur Gleichung .

Merke: Eine Gleichung der Form mit a R\{0}, b, c R heißt quadratische Gleichung:

graphische Lösung

Manchmal kann man aus dem Graph die Nullstellen direkt ablesen. Man spricht dann vom graphischen Lösen der quadratischen Gleichung. Bei der quadratischen Funktion hast du folgenden Graph

Du liest hier problemlos und als Nullstellen der Funktion ab.

  Aufgabe 1

Lies aus dem Graphen die Nullstelle(n) ab.
a) b) c)
Gib auch jeweils die Funktionsgleichung an.

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Bei dem Graphen von Aufgabe 1c kann man die Nullstellen nur näherungsweise ablesen. Man sieht jedenfalls, dass x₁ = 0 und x₂ = 3 nicht die Nullstellen sind, sondern, dass sie etwas daneben liegen. Aus dem Graphen kann man sie dann nur ungefähr ablesen.

  Aufgabe 2

1. Löse graphisch
1 a) x² + 4x + 4 = 0, b) 3x² - 3x - 18 = 0, c) x² + x - 2 = 0
2 Ermittle graphisch die Nullstellen
a) f(x) = 4 - x², b) f(x) = 0,5( x-1)² - 0,5, c) f(x) = x² - 2

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Von der letzten Aufgabe weißt man, dass die Gleichung die zwei Lösungen und hat. Auch hier kann man graphisch nur Näherungslösungen bestimmen.
Dies ist natürlich unbefriedigend. Man möchte ja gerne die exakten Lösungen. Also muss man eine rechnerische Lösung finden.

rechnerische Lösung

Zerlegung in Linearfaktoren

Bei der Gleichung x² + 5x = 0 kann man x ausklammern. Es ist x² + 5x = x(x+5), also muss man die Gleichung x(x+5)=0 lösen. Man weiß

Ein Produkt hat den  Wert Null, wenn ei Faktor den Wert Null hat.

Dann sind die zwei Lösungen der Gleichung x(x+5)=0 die zwei Zahlen x₁=-5 und x₂=0. Damit hat die Gleichung x² + 5x = 0 auch diese zwei Lösungen x₁=-5 und x₂=0.

Ausklammern funktioniert bei der Gleichung x² +5x + 6 = 0 nicht!
Bei den ersten beiden Summanden könnte man x ausklammern, aber der dritte Summand 6 bleibt dann stehen. x² +5x + 6 =x(x+5)+6 und wie soll man x(x+5)+6 = 0 lösen?
Wenn man bei der ganzen rechten Seite x ausklammert, dann erhält man und für die Gleichung hat man keinen Plan wie man sie lösen soll.

Schön wäre es, wenn man den Term x² +5x + 6 so umformen könnte, dass x² +5x + 6 = (x+3)(x+2) da steht. Dann hätte man wieder, dass ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Also wären die Lösungen x₁=-3 und x₂=-2.

  Aufgabe 3

1. Zeige, dass die Gleichung x² +5x + 6 = (x+3)(x+2) allgemeingültig ist.
2. Überprüfe durch Einsetzen in die Gleichung x² +5x + 6 = 0, dass x₁=-3 und x₂=-2 Lösungen sind.

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Doch wie kommt man auf so eine Zerlegung?
Zuerst schaut man sich den Summanden ohne x, also hier 6 an. Beim Ausmultiplizieren entsteht die 6 als Produkt der zwei Zahlen 2 und 3. Also schaut man welche natürliche Zahlen als Produkt 6 ergeben. Hier kommen 6·1 = 6 und 2·3=6 also die zwei Zahlenpaar 6 und 1 sowie 3 und 2 in Frage. Beim Ausmultiplizieren der Klammern sieht man auch, dass der Term mit x als Koeffizient die Summe der beide Zahlen hat, also 6+1 = 7 bzw. 3+2=5. Damit hat man (x+3)(x+2)=x² + 5x + 6.

Merke Um die Zerlegung von x2 + bx + c in Linearfaktoren zu finden, schaue nach natürlichen Zahlen x1 und x2, 1. deren Produkt c ist, also x1·x2 = c und 2. deren Summe b ist, also x1+x2=b. 3. Es ist dann x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2). Die quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 hat dann die zwei Lösungen -x1 und -x2.

Beispiele:

François Viète hat dies etwas anders herausgefunden.
Sind x₁ und x₂ die zwei Lösungen der Gleichung x² + bx + c = 0, dann lässt sich der quadratische Term x² + bx + c in Faktoren x - x₁ und x - x₂ zerlegen. Es ist x² + bx + c = (x - x₁)(x - x₂).
Hier steht nun in der Klammer jeweils ein - Zeichen, da ja die Zahlen eingesetzt 0 ergeben!
Multipliziert man die rechte Seite aus (x - x₁)(x - x₂) = x² - x·x₂ - x₁·x + x₁·x₂=x²-(x₁+x₂)·x+x₁·x₂
Der Vergleich von x²-(x₁+x₂)·x+x₁·x₂ mit x² + bx + c liefert
b = -(x₁+x₂) und c = x₁·x₂

Merke Satz von Vieta Sind p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 und x1 und x2 deren Lösung, so ist x1 + x2 = -p und x1·x2 = q.

In dem Satz von Vieta wurden p und q verwendet. Dies ist allgemein so üblich, wenn in der quadratischen Gleichung der Koeffizient von x² die Zahl 1 ist. Die quadratische Gleichung hat dann die Form x² + px + q = 0.

  Aufgabe 4

1. Bestimme die Lösungen:
a) (x+11)(x-2)=0
b) (x-3)(x-10)=0
c) (x-4)(x+2)=0
d) (x+3)(x+78)=0

2. Löse
a) x² - 4x -21 = 0
b) x² + 3x -10 = 0
c) x² + x - 2 = 0
d) x² - 5x + 6 = 0
e) x² + 5x - 6 = 0

3. Bearbeite die Aufgabe 1, Aufgabe 2

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Lösungsformel

Das Zerlegen in Linearfaktoren oder der Satz des Vieta funktionieren oft wunderbar. Allerdings muss der Koeffizient von x² stets 1 sein. Was macht man, wenn das nicht der Fall ist?
Was ist aber, wenn man eine Gleichung x² - 5x + 5 = 0 hat? Da kommt man mit unserem obigen Verfahren nicht weiter. Die Zahl 5 ist das Produkt der Zahlen 5 und 1. Die Summe 5+1=6. Das ist nicht -5! Was macht man nun?

Wir betrachten den Fall wobei ist. Wenn a = 0 wäre, hätten wir keine quadratische Gleichung, sondern eine lineare Gleichung.
Im folgenden verzichten wir nun darauf zu fordern. Das Beispiel x² - 5x + 5 = 0 zeigt, dass wir auch das nicht lösen können.

Eine quadratische Funktion wird normalerweise in der Form angegeben.
Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung bringt man den Funktionsterm in die Scheitelform

Die beiden Funktionsterme sind gleichwertig, es ist .

Für die quadratische Gleichung bedeutet dies, dass sie gleichwertig ist zur Gleichung

Division durch a (das ist erlaubt, da ist) ergibt die Gleichung
Nun löst man die Gleichung nach x auf. Man erhält dann .
Auf der linken Seite steht ein Quadrat, auf der rechten Seite ein Term. Zieht man nun auf beiden Seiten die Wurzel so erhält

vor der Wurzel bedeutet, dass sowohl die negatitve wie die positive Wurzel quadriert den Term auf der linken Seite ergibt.
Isoliert man x auf der linken Seite so erhält man
Der Indix 1,2 von x bedeutet, dass es für x zwei Werte gibt je nachdem ob vor der Wurzel ein - oder ein + steht.
Es geht jetzt nur noch darum diese Formel in eine einprägsame Form zu bringen. Dazu bringt man den Term unter der Wurzel auf den gemeinsamen Nenner 4a² bringt, also
4a² ist ein Quadrat, welches man aus der Wurzel herausziehen kann. Es ist also
Dies ergibt weiter

Merke: Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx +c = 0 sind

Der Term b² - 4ac unter der Wurzel heißt Diskriminante und gibt an wie viele Lösungen die Gleichung hat. Es gibt nur eine Lösung, wenn b² - 4ac ≥ 0 ist. Falls b² - 4ac < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung, da in den reellen Zahlen unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf.

Merke b2 - 4ac ist die Diskriminante D der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0. D = b2 - 4ac Ist D < 0, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Ist D = 0, so hat die quadratische Gleichung eine Lösung . Ist D ≥ 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen und .