Diskussion:M11 Skalarprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

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Man weiß aus der Mittelstufe, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms A = gh ist. D.h. fälllt man von der Spitze von <math>\vec b</math> das Lot auf <math>\vec a</math> erhält man die Höhe h. <br>
 
Man weiß aus der Mittelstufe, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms A = gh ist. D.h. fälllt man von der Spitze von <math>\vec b</math> das Lot auf <math>\vec a</math> erhält man die Höhe h. <br>
 
a steht für <math>a=|\vec a|</math> und b für <math>b=|\vec b|</math>. Es ist dann <math>A = ah</math> und h ist <math>h=b sin\alpha</math>, also <math>A=absin\alpha =ab\sqrt {1-cos\alpha^2} =\sqrt {a^2b^2-a^2b^2cos\alpha^2}=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2- (\vec a \circ \vec b)^2}</math> q.e.d.<br>
 
a steht für <math>a=|\vec a|</math> und b für <math>b=|\vec b|</math>. Es ist dann <math>A = ah</math> und h ist <math>h=b sin\alpha</math>, also <math>A=absin\alpha =ab\sqrt {1-cos\alpha^2} =\sqrt {a^2b^2-a^2b^2cos\alpha^2}=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2- (\vec a \circ \vec b)^2}</math> q.e.d.<br>
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b) <math>A=\sqrt{72\cdot 18 -0}=36</math> (Beachten Sie, dass <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> senkrecht zueinander sind.<br>
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b) <math>A=\sqrt{72\cdot 18 -0}=36</math> (Beachten Sie, dass <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> senkrecht zueinander sind.)<br>
 
c) <math>\alpha=74,5^o, \beta=60,98^o, \gamma=44,52^o</math>, <math>h_c=\sqrt {13}, A=\frac{3}{2}\sqrt {13}, V=6\sqrt {13}</math>
 
c) <math>\alpha=74,5^o, \beta=60,98^o, \gamma=44,52^o</math>, <math>h_c=\sqrt {13}, A=\frac{3}{2}\sqrt {13}, V=6\sqrt {13}</math>
  

Version vom 27. Januar 2021, 10:53 Uhr

Buch S. 112 / 10
Die Vektoren \vec a und \vec b stehen senkrecht aufeinander, d.h. \vec a \circ \vec b = 0.
a) (\vec a + \vec b)^2 =\vec a^2 + 2\vec a \circ \vec b + \vec b^2=|\vec a|^2 + |\vec b|^2=25+144=169
b) (\vec a + \vec b) \circ (2\vec a - \vec b)=2\vec a^2-\vec a \circ \vec b+\vec b \circ 2\vec a - \vec b^2= 2 \cdot 25 - 144 =-94
c) Eine Hommage an die binomischen Formeln!
(\vec a + \vec b)^2+(\vec a - \vec b)^2+(\vec a + \vec b)(\vec a -a\vec b) = \vec a^2 + 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - \vec b^2= 25 + 144 +25 +144 + 25 -144 = 219


Buch S. 112 / 14
Man weiß aus der Mittelstufe, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms A = gh ist. D.h. fälllt man von der Spitze von \vec b das Lot auf \vec a erhält man die Höhe h.
a steht für a=|\vec a| und b für b=|\vec b|. Es ist dann A = ah und h ist h=b sin\alpha, also A=absin\alpha =ab\sqrt {1-cos\alpha^2} =\sqrt {a^2b^2-a^2b^2cos\alpha^2}=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2- (\vec a \circ \vec b)^2} q.e.d.
b) A=\sqrt{72\cdot 18 -0}=36 (Beachten Sie, dass \vec a und \vec b senkrecht zueinander sind.)
c) \alpha=74,5^o, \beta=60,98^o, \gamma=44,52^o, h_c=\sqrt {13}, A=\frac{3}{2}\sqrt {13}, V=6\sqrt {13}

112/15 In dieser Aufgabe wird ein bekannter Satz der Mittelstufe mit Vektoren bewiesen. Man soll zeigen, dass der Winkel ACB gleich 90o ist. Dies macht man mit dem Skalarprodukt. Wenn das Skalarprodukt der Vektoren \vec {CA} und \vec {CB} gleich 0 ist, dann ist bei C ein rechter Winkel.
Man drückt \vec {CA} und \vec {CB} durch \vec a, \vec b aus. Es ist \vec {CA}=-\vec b - \vec a und \vec {CB} = -\vec b + \vec a.
Man sieht aus der Zeichnung, dass |\vec a|=|\vec b|=r ist.
Das Skalarprodukt ist dann \vec {CA} \circ \vec {CB}=(-\vec b - \vec a)(-\vec b + \vec a)=-(\vec a + \vec b)(\vec a + \vec b) = -(\vec a^2 - \vec b^2)=-(r^2-r^2)=0

Buch S. 113 / 16
A(2;0,0), B(0;2;0), C(0;0;2) und S(0;0;0)
a) siehe Definition des Skalarprodukts
b) V_{Kugel}=\frac{32}{3}\pi , V_{Pyramide}=\frac{4}{3}. Es ist \frac{V_{Pyramide}}{V_{Kugel}}\approx 0,04=4%

113/19
113-19.jpg
Der Winkel ALF bezeichne ich mit \alpha. Es ist cos \alpha = \frac{\vec {LA}\circ \vec {LF}}{|\vec{LA}||\vec {LF}}=\frac{\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right)}{5\cdot 5}=\frac{9}{25} und \alpha = 68,9^o
Das Volumen der Pyramide ist V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4=8

113/20
Es ist \vec {AB}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {BC_a}=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ a-2 \end{array}\right), \vec {AC_a}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ a-2 \end{array}\right)
Es ist \vec {AB} \circ \vec {AC_a}= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ a-2 \end{array}\right) = 4+0+0=4, also ist bei A kein rechter Winkel.
Es ist \vec {BA} \circ \vec {BC_a}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ a-2 \end{array}\right) = 0+9+0=9, also ist bei B kein rechter Winkel.
Das Dreieck ABCa hat bei Ca den rechten Winkel. Nun sucht man den Wert von a, für den das Skalarprodukt \vec {C_aA} \circ \vec {C_aB}=0 ist.
\vec {C_aA} \circ \vec {C_aB}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 2-a \end{array}\right ) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 2-a \end{array}\right)=0+0+(2-a)^2=0 für a=2.
Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer zur x1x2-Ebene parallelen Ebene im Abstand 2. Das Volumen der Pyramide ist dann V= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 2

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