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| − | Buch S. 112 / 10<br>
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| − | Die Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> stehen senkrecht aufeinander, d.h. <math>\vec a \circ \vec b = 0</math>. <br>
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| − | a) <math>(\vec a + \vec b)^2 =\vec a^2 + 2\vec a \circ \vec b + \vec b^2=|\vec a|^2 + |\vec b|^2=25+144=169</math><br>
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| − | b) <math>(\vec a + \vec b) \circ (2\vec a - \vec b)=2\vec a^2-\vec a \circ \vec b+\vec b \circ 2\vec a - \vec b^2= 2 \cdot 25 - 144 =-94</math><br>
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| − | c) Eine Hommage an die binomischen Formeln!<br>
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| − | <math>(\vec a + \vec b)^2+(\vec a - \vec b)^2+(\vec a + \vec b)(\vec a -a\vec b) = \vec a^2 + 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - \vec b^2= 25 + 144 +25 +144 + 25 -144 = 219</math>
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| − | Buch S. 112 / 14<br>
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| − | Man weiß aus der Mittelstufe, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms A = gh ist. D.h. fälllt man von der Spitze von <math>\vec b</math> das Lot auf <math>\vec a</math> erhält man die Höhe h. <br>
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| − | a steht für <math>a=|\vec a|</math> und b für <math>b=|\vec b|</math>. Es ist dann <math>A = ah</math> und h ist <math>h=b sin\alpha</math>, also <math>A=absin\alpha =ab\sqrt {1-cos\alpha^2} =\sqrt {a^2b^2-a^2b^2cos\alpha^2}=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2- (\vec a \circ \vec b)^2}</math> q.e.d.<br>
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| − | b) <math>A=\sqrt{72\cdot 18 -0}=36</math> (Beachten Sie, dass <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> senkrecht zueinander sind.<br>
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| − | c) <math>\alpha=74,5^o, \beta=60,98^o, \gamma=44,52^o</math>, <math>h_c=\sqrt {13}, A=\frac{3}{2}\sqrt {13}, V=6\sqrt {13}</math>
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| − | 112/15 In dieser Aufgabe wird ein bekannter Satz der Mittelstufe mit Vektoren bewiesen. Man soll zeigen, dass der Winkel ACB gleich 90<sup>o</sup> ist. Dies macht man mit dem Skalarprodukt. Wenn das Skalarprodukt der Vektoren <math>\vec {CA}</math> und <math>\vec {CB}</math> gleich 0 ist, dann ist bei C ein rechter Winkel.<br>
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| − | Man drückt <math>\vec {CA}</math> und <math>\vec {CB}</math> durch <math>\vec a, \vec b</math> aus. Es ist <math>\vec {CA}=-\vec b - \vec a</math> und <math>\vec {CB} = -\vec b + \vec a</math>. <br>
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| − | Man sieht aus der Zeichnung, dass <math>|\vec a|=|\vec b|=r</math> ist.<br>
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| − | Das Skalarprodukt ist dann <math>\vec {CA} \circ \vec {CB}=(-\vec b - \vec a)(-\vec b + \vec a)=-(\vec a + \vec b)(\vec a + \vec b) = -(\vec a^2 - \vec b^2)=-(r^2-r^2)=0</math>
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| − | Buch S. 113 / 16<br>
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| − | A(2;0,0), B(0;2;0), C(0;0;2) und S(0;0;0)<br>
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| − | a) siehe Definition des Skalarprodukts <br>
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| − | b) <math>V_{Kugel}=\frac{32}{3}\pi , V_{Pyramide}=\frac{4}{3}</math>. Es ist <math>\frac{V_{Pyramide}}{V_{Kugel}}\approx 0,04=4%</math>
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| − | 113/19<br>
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| − | [[Datei:113-19.jpg]]<br>
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| − | Der Winkel ALF bezeichne ich mit <math>\alpha</math>. Es ist <math>cos \alpha = \frac{\vec {LA}\circ \vec {LF}}{|\vec{LA}||\vec {LF}}=\frac{\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right)}{5\cdot 5}=\frac{9}{25}</math> und <math>\alpha = 68,9^o</math><br>
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| − | Das Volumen der Pyramide ist <math>V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4=8</math>
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| − | 113/20<br>
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| − | Es ist <math>\vec {AB}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {BC_a}=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ a-2 \end{array}\right), \vec {AC_a}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ a-2 \end{array}\right)</math><br>
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| − | Es ist <math>\vec {AB} \circ \vec {AC_a}= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ a-2 \end{array}\right) = 4+0+0=4</math>, also ist bei A kein rechter Winkel.<br>
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| − | Es ist <math>\vec {BA} \circ \vec {BC_a}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ a-2 \end{array}\right) = 0+9+0=9</math>, also ist bei B kein rechter Winkel.<br>
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| − | Das Dreieck ABC<sub>a</sub> hat bei C<sub>a</sub> den rechten Winkel. Nun sucht man den Wert von a, für den das Skalarprodukt <math>\vec {C_aA} \circ \vec {C_aB}=0</math> ist.<br>
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| − | <math>\vec {C_aA} \circ \vec {C_aB}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 2-a \end{array}\right ) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 2-a \end{array}\right)=0+0+(2-a)^2=0</math> für <math>a=2</math>.<br>
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| − | Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer zur x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene parallelen Ebene im Abstand 2. Das Volumen der Pyramide ist dann <math>V= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 2</math><br>
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| − | __NOCACHE__
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| − | <ggb_applet height="600" width="600"
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| − | filename="113-20.ggb" />
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