M10 Eigenschaften der Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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* Für a > 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die negative x-Achse; die negative x-Achse ist Asymptote.  
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Version vom 23. Februar 2021, 14:44 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Funktion f:x \rightarrow a^x

Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Verändere die Basis a und beobachte die Auswirkungen auf den Verlauf des Graphen.

Notiere die Antworten auf folgende Fragen:
1. Für welche Werte der Basis a ist die Funktion streng monoton steigend und für welche Werte streng monoton fallend?
2. Gibt es einen Wert für a, sodass die Funktion konstant ist?
3. Gibt es Werte für a, sodass der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse verläuft?
4. Gibt es für alle Graphen einen gemeinsamen Punkt?

1. Für 0 < a < 1 ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend, für a > 1 ist sie streng monoton steigend.
2. Für a = 1 ist die Funktion konstant.
3. Der Graph der Funktion verläuft für alle Werte von a oberhalb der x-Achse.

4. Alle Graphen gehen durch den Punkt (0:1).


Die Funktion f:x \rightarrow b\cdot a^x

Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Verändere mit den Schiebereglern den Faktor b und die Basis a.

Notiere die Antworten auf folgende Fragen:
1. Wie beeinflusst der Faktor b den Verlauf des Graphen?
2. Wie hängen die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse von den Parametern b und a ab?

1. Wenn der Faktor b negativ ist, verläuft der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse.

2. Der Graph der Funktion f mit f(x) = b·ax geht stets durch den Punkt (0;b).

Aufgaben

Zusammenfassung

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Exponentialfunktion f:x \rightarrow b\cdot a^x bzw. ihr Graph hat folgende Eigenschaften:

  • Die Definitionsmenge aller Exponentialfunktionen ist R.
  • Es ist a > 0.

b = 1 : Es geht um die Exponentialfunktion f:x \rightarrow a^x und ihren Graph.

Exponentialfunktion 1a.jpg
  • a^x ist stets positiv.
  • Alle Graphen gehen durch den Punkt (0;1)
  • Die Graphen der Funktionen f mit f(x) = a^x und g mit g(x) = \frac{1}{a}^x=a^{-x} lliegen symmetrisch bezüglich der y-Achse.
Exponentialfunktion 1b.jpg
  • Für 0 < a < 1 ist der Graph monoton fallend,
  • für a = 1 ist die Exponentialfunktion f(x) = 1^x=1 konstant,
  • für a > 1 ist der Graph montoton steigend.
  • Für 0 < a < 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die positive x-Achse; die positive x-Achse ist Asymptote.
  • Für a > 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die negative x-Achse; die negative x-Achse ist Asymptote.

b ≠ 1

  • Wenn b > 0 ist, treten nur positive Funktionswerte auf.
  • Wenn b < 0 ist, treten nur negative Funktionswerte auf.
  • Der Graph geht durch den Punkt (0;b)
  • Die Graphen der Funktionen f mit f(x) = b·ax und g mit g(x) = -b ·ax sind symmetrisch bezüglich der x-Achse.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Verifiziere die Aussagen des Merksatzes mit Hilfe des Applets.

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