M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Merksatz|MERK=Die n-te Wurzel <math>\sqrt [n] {a}</math> aus a mit n<math>\in</math>N\{1} und a<math>\in</math>R<sup>+</sup><sub>0</sub> ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist. | {{Merksatz|MERK=Die n-te Wurzel <math>\sqrt [n] {a}</math> aus a mit n<math>\in</math>N\{1} und a<math>\in</math>R<sup>+</sup><sub>0</sub> ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist. | ||
<center><math>(\sqrt [n] {a})^n = a</math></center> | <center><math>(\sqrt [n] {a})^n = a</math></center> | ||
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| + | Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt '''Radikand''', n ist der '''Wurzelexponent'''. | ||
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| + | Es ist 1. <math>\sqrt [n] {a} \ge 0</math> <br> | ||
| + | 2. <math>(\sqrt [n] {a})^n = a</math><br> | ||
| + | 3. <math>\sqrt [n] {a^n} = a</math> falls a ≥ 0 }} | ||
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| + | Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x<sup>2</sup> = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x<sup>3</sup> = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)<sup>3</sup> = -8 ist. Also kann man unterscheiden: | ||
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| + | {{Merke|1=Die Gleichung x<sup>n</sup> = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob: | ||
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| + | n gerade ist und <br> | ||
| + | a > 0, dann ist L={<math>-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}</math>}<br> | ||
| + | a = 0, dann ist L = {0}<br> | ||
| + | a < 0, dann ist L = {} | ||
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| + | n ungerade ist und <br> | ||
| + | a > 0, dann ist L={<math>\sqrt [n] {a}</math>}<br> | ||
| + | a = 0, dann ist L = {}<br> | ||
| + | a < 0, dann ist L = {<math>-\sqrt [n]{a}</math>} | ||
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Version vom 1. März 2021, 12:04 Uhr
Zu Beginn des Schuljahres haben wir 
als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.
 Merke:
Die n-te Wurzel ![(\sqrt [n] {a})^n = a](/images/math/3/b/7/3b7a007cfd6f5f5ef3513c35c5bf6032.png) Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent. Es ist 1. |
![\sqrt [n] {a}](/images/math/9/a/2/9a2b6d33f3d62a1e8bd99c76f3cb79f5.png)
aus a mit n
N\{1} und a![\sqrt [n] {a} \ge 0](/images/math/b/e/f/befde518159cf76e5392a4a14345374a.png)
![\sqrt [n] {a^n} = a](/images/math/a/7/3/a73d367ed0ace076492bd5d360b13ed6.png)
falls a ≥ 0
Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:
 Merke
Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob: n gerade ist und n ungerade ist und |
![-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}](/images/math/9/1/f/91f0181839fadbec49ab7cf78f53f424.png)
}![-\sqrt [n]{a}](/images/math/d/5/3/d53b7538d927f8fc73a562de8ef434ae.png)
}
