M11 Funktionsgleichungen der Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki

Wechseln zu: Navigation, Suche

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 . <math>830\cdot 10^6 = b\cdot a^0</math>, wenn man im Jahr 2000 mit der Zeitrechnung beginnt. Also ist hier <math>b = 830\cdot 10^6</math> und <br>
 . <math> 898\cdot 10^6=830\cdot 10^6 \cdot a^5</math> <br>
-Die letzte Gleichung führt zu <math>898 = 830 \cdot a^5</math> und <math>a = \sqrt [5] {\frac{440{415}}\approx 1,016</math>
+Die letzte Gleichung führt zu <math>898 = 830 \cdot a^5</math> und <math>a = \sqrt [5] {\frac{449}{415}}\approx 1,016</math><br>
+Der jährliche Wachstumsfaktor ist a = 1,016. Die Bevölkerung nimmt jährlich um 1,6% zu.<br>
+Das Wachstumsgesetz lautet <math>f(x)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^x</math>.
+b) <math>f(25)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{25}=1234\cdot 10^6</math>, <math>f(50)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{50}=1836\cdot 10^6</math>
 }}
 {{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 97 / 15 }}
-{{Lösung versteckt|1= }}
+{{Lösung versteckt|1=a) Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt die Konzentration anfangs stark ab und am Ende wenig. Daher wirkt es am Anfang stärker und die Wirkung nimmt gegen Ende ab.
+b) Ansatz: <math>c(t)=b\cdot a^{t}</math>. Es ist <math>c(3)=8,4</math> und <math>c(8) = 6,3</math>. Man hat also zwei Gleichungen:<br>
+(1) <math>8,4 = b\cdot a^{3}</math>  und<br>
+(2) <math>6,3 = b\cdot a^{8}</math> <br>
+Dividiert man die Gleichungen (1):(2) erhält man <math>\frac{8,4}{6,3}=a^{^-5}</math> und <math>a = \sqrt [5]{\frac{6,3}{8,4}} =\sqrt [5]{0,75}\approx  0,944</math>. <br>
+Die Anfangskonzentration b erhält man, indem man den Wert von a in eine der Gleichungen einsetzt und nach b auflöst.<br>
+<math>8,4=b \cdot 0,944^3</math> ergibt <math>b = 9,985</math>. Also war die Anfangskonzentration etwa 10 mg/l.<br>
+Die Abnahme pro Stunde ist 0,056 = 5,6%.
+c) <math>c(12)=10\cdot 0,994^{12}=5,0</math> und <math>c(24)=10 \cdot 0,994^{24}=2,5</math>
+d) Tabletten sollten nach Vorschrift eingenommen werden um eine möglichst hohe Wirksamkeit zu erzielen.
+Bemerkung: Man hätte auch einen Ansatz <math>c(t)=b\cdot a^{-t}</math> in b) machen können, dann wäre a = 1,06. Die Abnahme wird durch das - im Exponenten berücksichtigt. }}
+{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 97 / 16  }}
+{{Lösung versteckt|1=Ansatz <math>p(h)=b\cdot a^h</math><br>
+a) Man setzt die Werte ein und erhält zwei Gleichungen<br>
+(1) <math>915 = b\cdot a^{708}</math> und <br>
+(2) <math> 689 = b \cdot a^{2963}</math><br>
+Dividiert man (2):(1) erhält man <math>\frac{689}{915}=a^{2255}</math> und <math>a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742</math><br>
+<math>915 = b \cdot 0,9998742^{708}</math> ergibt <math>b=1000</math>.<br>
+Die Luftdruckformel ist <math>p(h)=1000\cdot 0,9998742^h</math>.<br>
+In Meereshöhe (h = 0) ist der Luftdruck 1000 hPa.<br>
+Pro 1 km nimmt der Luftdruck um 11,8% ab.
+b) [[Datei:97-16.jpg]]
+c) Bei <math>\Delta</math>h = 5510 m halbiert sich jeweils der Luftdruck.
-{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 97 / 16   }}
+d)  <math>p(4807)=1000\cdot 0,9998742^{4807}=556</math><br>
+<math>p(8850)=1000\cdot 0,9998742^{8850}=328</math><br>
+<math>p(-400)=1000\cdot 0,9998742^{-400}=1052</math>  }}

Version vom 3. März 2021, 15:54 Uhr

Hier geht es darum aus einem Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zu erstellen und die Aufgabe damit zu lösen. Es geht um Exponentialfunktionen mit der Funktionsgleichung $f(x)=b\cdot a^x$ .
Man hat zwei Angaben mit denen man zwei Gleichungen erhält und dann a und b berechnet.

Aufgabe 1

Buch S. 97 / 14

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Im Jahr 2000 war die Bevölkerung 830 Millionen, 2005, also 5 Jahre später war die Bevölkerung 898 Millionen.
Das führt zu den zwei Gleichungen
1. $830\cdot 10^6 = b\cdot a^0$ , wenn man im Jahr 2000 mit der Zeitrechnung beginnt. Also ist hier $b = 830\cdot 10^6$ und
2. $898\cdot 10^6=830\cdot 10^6 \cdot a^5$
Die letzte Gleichung führt zu $898 = 830 \cdot a^5$ und $a = \sqrt [5] {\frac{449}{415}}\approx 1,016$
Der jährliche Wachstumsfaktor ist a = 1,016. Die Bevölkerung nimmt jährlich um 1,6% zu.
Das Wachstumsgesetz lautet $f(x)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^x$ .

b) $f(25)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{25}=1234\cdot 10^6$ , $f(50)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{50}=1836\cdot 10^6$

Aufgabe 2

Buch S. 97 / 15

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt die Konzentration anfangs stark ab und am Ende wenig. Daher wirkt es am Anfang stärker und die Wirkung nimmt gegen Ende ab.

b) Ansatz: $c(t)=b\cdot a^{t}$ . Es ist $c(3)=8,4$ und $c(8) = 6,3$ . Man hat also zwei Gleichungen:
(1) $8,4 = b\cdot a^{3}$ und
(2) $6,3 = b\cdot a^{8}$
Dividiert man die Gleichungen (1):(2) erhält man $\frac{8,4}{6,3}=a^{^-5}$ und $a = \sqrt [5]{\frac{6,3}{8,4}} =\sqrt [5]{0,75}\approx 0,944$ .
Die Anfangskonzentration b erhält man, indem man den Wert von a in eine der Gleichungen einsetzt und nach b auflöst.
$8,4=b \cdot 0,944^3$ ergibt $b = 9,985$ . Also war die Anfangskonzentration etwa 10 mg/l.
Die Abnahme pro Stunde ist 0,056 = 5,6%.

c) $c(12)=10\cdot 0,994^{12}=5,0$ und $c(24)=10 \cdot 0,994^{24}=2,5$

d) Tabletten sollten nach Vorschrift eingenommen werden um eine möglichst hohe Wirksamkeit zu erzielen.

Bemerkung: Man hätte auch einen Ansatz $c(t)=b\cdot a^{-t}$ in b) machen können, dann wäre a = 1,06. Die Abnahme wird durch das - im Exponenten berücksichtigt.

Aufgabe 3

Buch S. 97 / 16

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Ansatz $p(h)=b\cdot a^h$
a) Man setzt die Werte ein und erhält zwei Gleichungen
(1) $915 = b\cdot a^{708}$ und
(2) $689 = b \cdot a^{2963}$
Dividiert man (2):(1) erhält man $\frac{689}{915}=a^{2255}$ und $a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742$
$915 = b \cdot 0,9998742^{708}$ ergibt $b=1000$ .
Die Luftdruckformel ist $p(h)=1000\cdot 0,9998742^h$ .
In Meereshöhe (h = 0) ist der Luftdruck 1000 hPa.
Pro 1 km nimmt der Luftdruck um 11,8% ab.