M11 Die Ableitung der Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Ersetzt man <math>z = f^{-1}(x)</math>, dann ist  <math>( f\circ f^{-1}(x))' = (f(z))'=f'(z) \cdot z'</math>. Dabei ist <math>z'=f^{-1'}(x)</math>.<br>
 
Also ist <math>f'(z) \cdot z' = 1</math> und <math>z'=\frac{1}{f'(z)}</math>. Ersetzt man wieder z durch <math>f^{-1}(x)</math>, dann hat man wegen <math>z'=f^{-1'}(x)</math> die Ableitung der Umkehrfunktion <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
 
Also ist <math>f'(z) \cdot z' = 1</math> und <math>z'=\frac{1}{f'(z)}</math>. Ersetzt man wieder z durch <math>f^{-1}(x)</math>, dann hat man wegen <math>z'=f^{-1'}(x)</math> die Ableitung der Umkehrfunktion <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
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{{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> der Funktion <math>f</math> ist  <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math> }}
  
  
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Also ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \to \sqrt {x-1,5} + 0,5</math> mit D = [1,5;<math>\infty</math>[ und W = [0,5;<math>\infty</math>[.<br>
 
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Der Funktionsterm der Funktion <math>f</math> lässt sich umformen in <math>f(x)= x^2 - x + 1,75</math> und hat die Ableitung <math>f'(x)=2x - 1</math>. <br>
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Der Funktionsterm der Funktion <math>f</math> lässt sich umformen in <math>f(x)= x^2 - x + 1,75</math> und hat die Ableitung <math>f'(x)=2x - 1</math>.  
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Die Ableitung der Umkehrfunktion ist <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}= \frac{1}{2z-1}= \frac{1}{2(\sqrt {x-1,5} + 0,5)-1}=\frac{1}{2\sqrt {x-1,5} }</math>
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Ist <math>z=f^{-1}(x)</math>, dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(z)}= \frac{1}{2z-1}= \frac{1}{2(\sqrt {x-1,5} + 0,5)-1}=\frac{1}{2\sqrt {x-1,5} }</math>

Version vom 4. März 2021, 17:39 Uhr

Wiederholung

Die Funktion f:x \to f(x) hat die Umkehrfunktion f^{-1}.

In der 9. Klasse hatte man die Quadratfunktion f: x \to x^2 mit D = R. Die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen und man hatte die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Die Wurzelfunktion ist f^{-1}:x \to \sqrt x mit D = R_0^+.

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Die Umkehrfunktion f^{-1} zu einer Funktion f findet man immer mit diesen Schritten:

1. Schränke die Definitionsmenge von f so ein, dass f streng monoton ist.

2. Löse die Funktionsgleichung y = f(x) nach x auf.

3. Vertausche x und y.

4. Die Definitionsmenge der eingeschränkten Funktion f ist die Wertemenge der Umkehrfunktion f^{-1} und die Wertemenge von f ist die Definitionsmenge von f^{-1}.

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion f^{-1} durch Spiegelung des Graphen der Funktion f an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.

Auf dieser Seite wird dies an Beispielen erklärt.
Hier sind auch Beispiele ohne Berücksichtigung der Definitionsmenge.

Die Ableitung der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion f^{-1} macht die Wirkung der Funktion f rückgängig. Es ist \sqrt {x^2}= x, wenn x positiv ist. Da die Quadratfunktion beim Bilden der Umkehrfunktion auf D = R_0^+ eingeschränkt wurde. die die x positiv und die Umkehrung ist in Ordnung.
Wenn man die Verkettung f\circ f^{-1} betrachtet, dann ist f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x))=x, da die Verkettung der beiden Funktionen ihre Wirkungen aufheben und man erhält wieder x.

Nun ist ( f\circ f^{-1}(x))' = (f(f^{-1}(x))'=1.
Ersetzt man z = f^{-1}(x), dann ist ( f\circ f^{-1}(x))' = (f(z))'=f'(z) \cdot z'. Dabei ist z'=f^{-1'}(x).
Also ist f'(z) \cdot z' = 1 und z'=\frac{1}{f'(z)}. Ersetzt man wieder z durch f^{-1}(x), dann hat man wegen z'=f^{-1'}(x) die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1} der Funktion f ist f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}


Beispiele:
1. Die Quadratfunktion f:x \to x^2 hat die Umkehrfunktion f^{-1}:x\to \sqrt x (mit passenden Definitionsmengen, die hier nicht interessieren)
Dabei ist f(x) = x^2 und f^{-1}(x) = \sqrt x.
Desweiteren ist f'(x) = 2x.

Nun ist f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x)} = \frac{1}{2f^{-1}(x)}=\frac{1}{2\sqrt x}


2. Die Funktion f: x \to (x-0,5)^2 + 1,5 mit D = R ist eine quadratische Funktion, deren Graph den Scheitel bei (0,5; 1,5) hat. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Funktion ist für x \in [0,5;\infty[ streng monton zunehmend. Die Wertemenge ist W = [1,5;\infty[
Die Umkehrfunktion erhält man, indem man die Gleichung y = (x-0,5)2 + 1,5
1. nach x auflöst.
x = \sqrt {y-1,5} + 0,5 und dann
2. x und y vertauscht
y = \sqrt {x-1,5} + 0,5
Also ist die Umkehrfunktion f^{-1}:x \to \sqrt {x-1,5} + 0,5 mit D = [1,5;\infty[ und W = [0,5;\infty[.
Der Funktionsterm der Funktion f lässt sich umformen in f(x)= x^2 - x + 1,75 und hat die Ableitung f'(x)=2x - 1.

Ist z=f^{-1}(x), dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(z)}= \frac{1}{2z-1}= \frac{1}{2(\sqrt {x-1,5} + 0,5)-1}=\frac{1}{2\sqrt {x-1,5} }

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