M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merksatz|MERK=Die n-te Wurzel <math>\sqrt [n] {a}</math> aus a mit n<math>\in</math>N\{1} und a<math>\in</math>R<sup>+</sup><sub>0</sub> ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.  
 
{{Merksatz|MERK=Die n-te Wurzel <math>\sqrt [n] {a}</math> aus a mit n<math>\in</math>N\{1} und a<math>\in</math>R<sup>+</sup><sub>0</sub> ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.  
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Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt '''Radikand''', n ist der '''Wurzelexponent'''.
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Es ist 1.  <math>\sqrt [n] {a} \ge 0</math> <br>
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2. <math>(\sqrt [n] {a})^n = a</math><br>
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3. <math>\sqrt [n] {a^n} = a</math> falls a ≥ 0
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Für <math>\sqrt [n] {a}</math>  schreibt man auch <math>\sqrt [n] {a} = a^{\frac{1}{n}}</math>.  }}
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Beispiele: <math>\sqrt [5] {1024} = 4</math> Tipp: Mache die Umkehrrechnung <math>4^5=1024</math>!<br>
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<math>\sqrt [4] {0,0016} = 0,2</math><br>
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<math>\sqrt [10] {1024} = 2</math><br>
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Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x<sup>2</sup> = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x<sup>3</sup> = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)<sup>3</sup> = -8 ist. Also kann man unterscheiden:
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{{Merke|1=Die Gleichung x<sup>n</sup> = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:
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n gerade ist und <br>
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a > 0, dann ist L={<math>-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}</math>}<br>
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a = 0, dann ist L = {0}<br>
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a < 0, dann ist L = { }
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n ungerade ist und <br>
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a > 0, dann ist  L={<math>\sqrt [n] {a}</math>}<br>
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a = 0, dann ist L = {0}<br>
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a < 0, dann ist L = {<math>-\sqrt [n]{-a}</math>} (Wenn a < 0 ist, dann ist -a > 0!)  }}
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Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:<br>
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x<sup>3</sup> = 216  hat die Lösung x = 6<br>
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x<sup>3</sup> = -216  hat die Lösung x = -6<br>
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x<sup>5</sup> = 1024  hat die Lösung x = 4<br>
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x<sup>4</sup> = 256  hat die Lösungen x = -4 und x = 4<br>
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x<sup>4</sup> = 2401  hat die Lösungen x = -7 und x = 7<br>
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x<sup>5</sup> = -243  hat die Lösung x = -3<br>
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b) 20; 400; 10; 100; 3; 1<br>
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Für die kommenden Aufgaben sind die Potenzgesetze hilfreich.
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{{Aufgaben-blau|Wiederholung der Potenzgesetze|2=Zum Wiederholen und Üben der Potenzgesetze: [https://de.serlo.org/mathe/1867/potenzgesetze Potenzgesetze], [https://de.serlo.org/mathe/23665/aufgaben-zu-den-potenzgesetzen Aufgaben 1], [https://studyflix.de/mathematik/potenzgesetze-aufgaben-2478 Aufgaben 2] }}
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{{Merke|1=Es ist <math>\sqrt [n]{a^n} = a = (\sqrt [n]{a})^n</math>. }}
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{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 111 / 3, 4}}
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{{Lösung versteckt|1=111/3 a) D = <math>R_0^+</math> und ...= a<sup>2</sup><br>
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D = <math>R_0^+</math> und ...= b<sup>3</sup><br>
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D = <math>R_0^+</math> und ...= <math>c^{\frac{1}{3}} = \sqrt [3]{c}</math><br>
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D = <math>R_0^+</math> und ...= 3·b<sup>2</sup><br>
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b) D = <math>R^+</math> und ...= d<sup>-1</sup><br>
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D = <math>R^+</math> und ...= e<sup>-2</sup><br>
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D = <math>R^+</math> und ...= f<sup>-2</sup><br>
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D = <math>R_0^+</math> und ...= 17b
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c) D = <math>R_0^+</math><br>
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<math>\sqrt [4]{625\cdot g^2\cdot (g^3)^2}</math> <br>
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Hier fasst man zuerst den Radikand zusammen es ist <math>g^2 \cdot (g^3)^2=g^2\cdot g^6=g^{2+6}=g^8</math> und <math> 625 = 5^4</math>. Damit formt man um <math>\sqrt [4]{625\cdot g^2\cdot (g^3)^2}=\sqrt [4]{5^4\cdot g^8}=\sqrt [4]{5^4\cdot (g^2)^4}=5\cdot g^2</math>
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D = <math>R^+</math><br>
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<math>\sqrt [3]{\frac{h^7}{0,001\cdot h}}=\sqrt [3] {\frac{h^6}{\frac{1}{1000}}}=\sqrt [3]{1000\cdot h^6}=\sqrt [3]{10^3\cdot (h^2)^3}=10\cdot h^2</math>
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D = <math>R_0^+</math> und<br>
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Hier fasst man zuerst die k's im Radikand zusammen:<br>
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<math>\sqrt [5]{\frac{k^{2n+3}}{0,00032\cdot k^n\cdot k^{-2}}}=\sqrt [5]{0,2^5\cdot k^{2n+3-n-(-2)}}=\sqrt [5]{0,2^5\cdot k^{n+5}}=\sqrt [5]{0,2^5 \cdot k^{5(0,2n+1)}}=0,2\cdot k^{0,2n+1}</math>
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D = <math>R_0^+</math> und <br>
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<math>\sqrt [3]{1728\cdot b^6}=\sqrt [3] {12^3 \cdot (b^2)^3}=12\cdot b^2</math>
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111/4 a) <math>x^3 = - 125</math> --> <math>x = -5</math>, L = {-5}<br>
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b) <math>x^6 = - 32</math> --> L = { }<br>
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c) <math>x^2 = 8</math> --> <math>x =\pm 2\sqrt 2</math>, L = {<math>-2\sqrt2;2\sqrt2</math>}<br>
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d) Multipliziert man die Gleichung mit <math>x^3</math>, dann erhält man <math>x^4 = 8</math> --> <math>x =\pm \sqrt [4]{8}</math>, L = {<math>-\sqrt [4]{8};\sqrt [4]{8}</math>}<br>
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e)  <math>x^4 = 81</math> --> <math>x = \pm 3</math>, L = {-3,3}<br>
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f) <math>x^5 = 0</math> --> <math>x = 0</math>, L = {0}<br>    }}
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{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 112 / 8 }}
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{{Lösung versteckt|1=Das Gesamtvolumen 216 dm<sup>3</sup> legt nahe, dass alle Lautsprecher zusammen einen Würfel mit Seitenlänge 6 dm ergeben. In jeder Reihe sind 5 Lautsprecher, 25 Lautsprecher in der Grundfläche und man hat 5 Flächen übereinander. Jeder Lautsprecher hat dann eine Seitenlänge 6dm : 5 = 1,2 dm und ein Volumen (1,2 dm)<sup>3</sup> = 1, 728 dm<sup>3</sup>. Dies erhält man auch, wenn man 216 dm<sup>3</sup> : 125 = 1,728 dm<sup>3</sup> berechnet. <br>
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Jeder Lautsprecher soll einzeln verpackt werden, seine Würfeloberfläche ist 6 · (1,2 dm)<sup>2</sup> = 8,64 dm<sup>2</sup>. <br>
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Da man für die Verpackung 25% mehr braucht ist die Oberfläche der  Verpackung 8,64 dm<sup>2</sup> · 1,25 = 10,8 dm<sup>2</sup>.<br>
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Für die 125 Lautsprecher braucht man also 125 · 10,8dm<sup>2</sup> = 1350 dm<sup>2</sup> = 13,5 m<sup>2</sup>  Verpackungsmaterial. }}

Aktuelle Version vom 11. März 2021, 17:23 Uhr

Zu Beginn des Schuljahres haben wir \sqrt a als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die n-te Wurzel \sqrt [n] {a} aus a mit n\inN\{1} und a\inR+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

(\sqrt [n] {a})^n = a

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. \sqrt [n] {a} \ge 0
2. (\sqrt [n] {a})^n = a
3. \sqrt [n] {a^n} = a falls a ≥ 0

Für \sqrt [n] {a} schreibt man auch \sqrt [n] {a} = a^{\frac{1}{n}}.

Beispiele: \sqrt [5] {1024} = 4 Tipp: Mache die Umkehrrechnung 4^5=1024!
\sqrt [4] {0,0016} = 0,2
\sqrt [10] {1024} = 2
\sqrt [3] {216} = 6
\sqrt [5] {243} = 3
\sqrt [3] {729} = 9

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = { }

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={\sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {-\sqrt [n]{-a}} (Wenn a < 0 ist, dann ist -a > 0!)



Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x3 = 216 hat die Lösung x = 6
x3 = -216 hat die Lösung x = -6
x5 = 1024 hat die Lösung x = 4
x4 = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x4 = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x5 = -243 hat die Lösung x = -3
x4 = -256 hat die keine Lösung


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2

111/1 a) 2; 6; 3; 2; 8; 10; 0; 1
b) 20; 400; 10; 100; 3; 1
c) 0,3; 0,2; 0,05; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}; 2; \frac{1}{4}=0,25; 1,5

111/2

111-2.jpg


Für die kommenden Aufgaben sind die Potenzgesetze hilfreich.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe Wiederholung der Potenzgesetze

Zum Wiederholen und Üben der Potenzgesetze: Potenzgesetze, Aufgaben 1, Aufgaben 2

Nuvola apps kig.png   Merke

Es ist \sqrt [n]{a^n} = a = (\sqrt [n]{a})^n.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 111 / 3, 4

111/3 a) D = R_0^+ und ...= a2
D = R_0^+ und ...= b3
D = R_0^+ und ...= c^{\frac{1}{3}} = \sqrt [3]{c}
D = R_0^+ und ...= 3·b2

b) D = R^+ und ...= d-1
D = R^+ und ...= e-2
D = R^+ und ...= f-2
D = R_0^+ und ...= 17b

c) D = R_0^+
\sqrt [4]{625\cdot g^2\cdot (g^3)^2}
Hier fasst man zuerst den Radikand zusammen es ist g^2 \cdot (g^3)^2=g^2\cdot g^6=g^{2+6}=g^8 und 625 = 5^4. Damit formt man um \sqrt [4]{625\cdot g^2\cdot (g^3)^2}=\sqrt [4]{5^4\cdot g^8}=\sqrt [4]{5^4\cdot (g^2)^4}=5\cdot g^2


D = R^+
\sqrt [3]{\frac{h^7}{0,001\cdot h}}=\sqrt [3] {\frac{h^6}{\frac{1}{1000}}}=\sqrt [3]{1000\cdot h^6}=\sqrt [3]{10^3\cdot (h^2)^3}=10\cdot h^2


D = R_0^+ und
Hier fasst man zuerst die k's im Radikand zusammen:
\sqrt [5]{\frac{k^{2n+3}}{0,00032\cdot k^n\cdot k^{-2}}}=\sqrt [5]{0,2^5\cdot k^{2n+3-n-(-2)}}=\sqrt [5]{0,2^5\cdot k^{n+5}}=\sqrt [5]{0,2^5 \cdot k^{5(0,2n+1)}}=0,2\cdot k^{0,2n+1}


D = R_0^+ und
\sqrt [3]{1728\cdot b^6}=\sqrt [3] {12^3 \cdot (b^2)^3}=12\cdot b^2


111/4 a) x^3 = - 125 --> x = -5, L = {-5}
b) x^6 = - 32 --> L = { }
c) x^2 = 8 --> x =\pm 2\sqrt 2, L = {-2\sqrt2;2\sqrt2}
d) Multipliziert man die Gleichung mit x^3, dann erhält man x^4 = 8 --> x =\pm \sqrt [4]{8}, L = {-\sqrt [4]{8};\sqrt [4]{8}}
e) x^4 = 81 --> x = \pm 3, L = {-3,3}

f) x^5 = 0 --> x = 0, L = {0}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 112 / 8

Das Gesamtvolumen 216 dm3 legt nahe, dass alle Lautsprecher zusammen einen Würfel mit Seitenlänge 6 dm ergeben. In jeder Reihe sind 5 Lautsprecher, 25 Lautsprecher in der Grundfläche und man hat 5 Flächen übereinander. Jeder Lautsprecher hat dann eine Seitenlänge 6dm : 5 = 1,2 dm und ein Volumen (1,2 dm)3 = 1, 728 dm3. Dies erhält man auch, wenn man 216 dm3 : 125 = 1,728 dm3 berechnet.
Jeder Lautsprecher soll einzeln verpackt werden, seine Würfeloberfläche ist 6 · (1,2 dm)2 = 8,64 dm2.
Da man für die Verpackung 25% mehr braucht ist die Oberfläche der Verpackung 8,64 dm2 · 1,25 = 10,8 dm2.

Für die 125 Lautsprecher braucht man also 125 · 10,8dm2 = 1350 dm2 = 13,5 m2 Verpackungsmaterial.
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