M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>10^x = 5</math> hat die Lösung <math> x = log_{10}(5)</math><br> | <math>10^x = 5</math> hat die Lösung <math> x = log_{10}(5)</math><br> | ||
<math>2^x = 19 </math> hat die Lösung <math>x = log_2[18)</math> | <math>2^x = 19 </math> hat die Lösung <math>x = log_2[18)</math> | ||
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{{Merksatz|MERK=Es ist <math>log_a(a^r) = r</math> | {{Merksatz|MERK=Es ist <math>log_a(a^r) = r</math> | ||
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Rechengesetze des Logarithmus | Rechengesetze des Logarithmus | ||
− | <math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math> | + | Logarithmus eines Produkts: <math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math> |
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+ | Logarithmus eines Quotienten: <math>log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)</math> | ||
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+ | Logarithmus einer Potenz: <math>log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)</math> }} | ||
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+ | Zur Begründung der Rechenregeln:<br> | ||
+ | 1. <math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math> erhält man durch folgende Überlegung:<br> | ||
+ | <math>p = b^x</math> und <math>q = b^y</math>. Dann ist <math>p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}</math>, also <math>x + y = log_b(p\cdot q)</math>.<br> | ||
+ | Da <math>x = log_b (p)</math> und <math>y = log_b(q)</math> ist erhält man <math>log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)</math>. | ||
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+ | 2. <math>log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)</math> erhält man durch folgende Überlegung:<br> | ||
+ | <math>p = b^x</math> und <math>q = b^y</math>. Dann ist <math>p : q = b^x : b^y = b^{x-y}</math>, also <math>x - y = log_b(p : q)</math>.<br> | ||
+ | Da <math>x = log_b (p)</math> und <math>y = log_b(q)</math> ist erhält man <math>log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})</math>. | ||
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− | <math>log_a(p | + | {{Merksatz|MERK=Basiswechsel: <math> log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}</math> }} |
Version vom 22. März 2021, 08:36 Uhr
Die Gleichung ist ganz leicht zu lösen. Man erhält
. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
hat die Lösung
,
hat die Lösung
,
hat die Lösung
.
Doch was macht man, wenn die Gleichung lautet?
Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung hat die Lösungen
und
. Für die Gleichung
hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen
.
Für die Gleichung muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.
Merke:
Die Gleichung Man spricht für |
Beispiele: hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
Merke:
Es ist
Rechengesetze des Logarithmus Logarithmus eines Produkts: Logarithmus eines Quotienten: Logarithmus einer Potenz: |
Zur Begründung der Rechenregeln:
1. erhält man durch folgende Überlegung:
und
. Dann ist
, also
.
Da und
ist erhält man
.
2. erhält man durch folgende Überlegung:
und
. Dann ist
, also
.
Da und
ist erhält man
.
Merke:
Basiswechsel: |