M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. März 2021, 07:49 Uhr

Die Gleichung $2^x = 4$ ist ganz leicht zu lösen. Man erhält $x = 2$ . Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
$2^x = 1024$ hat die Lösung $x = 10$ ,
$5^x = 625$ hat die Lösung $x = 4$ ,
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = 5$ .

Doch was macht man, wenn die Gleichung $2^x = 5$ lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung $x^2 = 4$ hat die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2=2$ . Für die Gleichung $x^2 = 5$ hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen $x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5$ .

Für die Gleichung $2^x = 5$ muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.

Merke:

Die Gleichung $a^x = p$ mit a $\in$ R⁺ und p > 0 hat die Lösung $x = log_a (p)$ .

Man spricht für $x = log_a (p)$ : "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Beispiele: $2^x = 4$ hat die Lösung $x = log_2(4) = 2$
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = =log_3(243)=5$
$10^x = 5$ hat die Lösung $x = log_{10}(5)$
$2^x = 19$ hat die Lösung $x = log_2[18)$

Merke:

Es ist $log_a(a^r) = r$

$log_a(1) = 0$

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$

Logarithmus eines Quotienten: $log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)$

Logarithmus einer Potenz: $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$

Zur Begründung der Rechenregeln:
1. $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}$ , also $x + y = log_b(p\cdot q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)$ .

2. $log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p : q = b^x : b^y = b^{x-y}$ , also $x - y = log_b(p : q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})$ .

Beispiele:1. $log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)$

2. $log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)$

3. $log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3$

Merke

Für $log_10$ schreibt man $lg$

Für $log_e$ schreibt man $ln$ , wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist.

4. $lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\log(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}$

Merke:

Basiswechsel: $log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 <math>p = b^x</math> und <math>q = b^y</math>. Dann ist <math>p : q = b^x : b^y = b^{x-y}</math>, also <math>x - y = log_b(p : q)</math>.<br>
 Da <math>x = log_b (p)</math> und <math>y = log_b(q)</math> ist erhält man <math>log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})</math>.
+'''Beispiele:1. <math>log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)</math>
+. <math>log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)</math>
+. <math>log_2 (6)  log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3</math>
+{{Merke|1=Für <math>log_10</math> schreibt man <math>lg</math>
+Für <math>log_e</math> schreibt man <math>ln</math>, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist.}}
+. <math>lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\log(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}</math>
 {{Merksatz|MERK=Basiswechsel: <math> log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}</math> }}

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