M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 17: Zeile 17:
 
Man spricht für <math>x = log_a (p)</math>: "'''x ist der Logarithmus von p zur Basis a'''"  
 
Man spricht für <math>x = log_a (p)</math>: "'''x ist der Logarithmus von p zur Basis a'''"  
  
−
<center>[[Datei:Log.jpg]]</center>}}
+
<center>[[Datei:Log.jpg|500px]]</center>}}
  
  
Zeile 25: Zeile 25:
 
<math>2^x = 19 </math> hat die Lösung <math>x = log_2[18)</math>
 
<math>2^x = 19 </math> hat die Lösung <math>x = log_2[18)</math>
  
 +
{{Aufgaben-blau|1|2=1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus<br>
 +
a) <math>2^3 = 8</math><br>
 +
b) <math>5^4 = 625</math><br>
 +
c) <math>2^{-3} = \frac{1}{8}</math>
 +
d) <math>7^0 = 1</math><br>
 +
e) <math>10^{-2}=0,01</math><br>
 +
f) <math>100^{\frac{1}{2}}=10</math>
 +
 +
2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung<br>
 +
a) <math>log_3(9) = 2</math><br>
 +
b) <math>log_4(16) = 2</math><br>
 +
c) <math>log_4(\frac{1}{16}) = -2</math><br>
 +
d) <math>log_8(0,125) = -1</math> <br>
 +
e) <math>log_3(\frac{1}{81})= -4</math> }}
 +
 +
{{Lösung versteckt|1= 1a) <math>3 = log_2(8)</math><br>
 +
b) <math>4 = log_5(625)</math><br>
 +
c) <math>-3 = log_2(\frac{1}{8})</math><br>
 +
d) <math>0 = log_7(1)</math><br>
 +
e) <math>-2 = log_{10}(0,1)</math><br>
 +
f) <math>\frac{1}{2}=log_{100}(10)</math> 
 +
 +
2a) <math>3^2 = 9</math><br>
 +
b) <math>4^2 = 16</math><br>
 +
c) <math>4^{-2}=\frac{1}{16}</math><br>
 +
d) <math>8^{-1}=0,125</math><br>
 +
e) <math>3^{-4}=\frac{1}{81}</math>  }}
  
 
{{Merksatz|MERK=Es ist <math>log_a(a^r) = r</math>
 
{{Merksatz|MERK=Es ist <math>log_a(a^r) = r</math>
  
−
<math>log_a(1) = 0</math>
+
<math>log_a(1) = 0</math>}}
 +
 
 +
{{Aufgaben-blau|2|2=1. Buch S. 101 / 3
 +
 
 +
2. Buch S. 102 / 4}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!<br>
 +
Für log<sub>2</sub>(32) lautet die Exponentialgleichung <math>2^x = 32</math>, also x = 5
 +
 
 +
1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3<br>
 +
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2
 +
 
 +
2a) 0,5; b) 0,5; c) <math>\frac{1}{3}</math>; d) <math>\frac{1}{3}</math>; e) <math>\frac{1}{5}</math>; f) <math>\frac{2}{3}</math>; g) <math>\frac{3}{2}</math>; h) 5;<br>
 +
i) <math>\frac{9}{2}</math>; k) 0,5; l) <math>\frac{3}{2}</math>; m) <math>-\frac{3}{2}</math>; o) 2; p) -2; q) 0 }}
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
Rechengesetze des Logarithmus
+
{{Merksatz|MERK=Rechengesetze des Logarithmus
  
 
Logarithmus eines Produkts: <math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math>
 
Logarithmus eines Produkts: <math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math>

Version vom 22. März 2021, 15:59 Uhr

Die Gleichung 2^x = 4 ist ganz leicht zu lösen. Man erhält x = 2. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
2^x = 1024 hat die Lösung x = 10,
5^x = 625 hat die Lösung x = 4,
3^x = 243 hat die Lösung x = 5.

Doch was macht man, wenn die Gleichung 2^x = 5 lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung x^2 = 4 hat die Lösungen x_1 = -2 und x_2=2. Für die Gleichung x^2 = 5 hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5.

Für die Gleichung 2^x = 5 muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Gleichung a^x = p mit a \in R+ und p > 0 hat die Lösung x = log_a (p).

Man spricht für x = log_a (p): "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Log.jpg


Beispiele: 2^x = 4 hat die Lösung x = log_2(4) = 2
3^x = 243 hat die Lösung x = =log_3(243)=5
10^x = 5 hat die Lösung x = log_{10}(5)
2^x = 19 hat die Lösung x = log_2[18)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus
a) 2^3 = 8
b) 5^4 = 625
c) 2^{-3} = \frac{1}{8} d) 7^0 = 1
e) 10^{-2}=0,01
f) 100^{\frac{1}{2}}=10

2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung
a) log_3(9) = 2
b) log_4(16) = 2
c) log_4(\frac{1}{16}) = -2
d) log_8(0,125) = -1
e) log_3(\frac{1}{81})= -4

1a) 3 = log_2(8)
b) 4 = log_5(625)
c) -3 = log_2(\frac{1}{8})
d) 0 = log_7(1)
e) -2 = log_{10}(0,1)
f) \frac{1}{2}=log_{100}(10)

2a) 3^2 = 9
b) 4^2 = 16
c) 4^{-2}=\frac{1}{16}
d) 8^{-1}=0,125

e) 3^{-4}=\frac{1}{81}
Maehnrot.jpg
Merke:

Es ist log_a(a^r) = r

log_a(1) = 0


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Buch S. 101 / 3

2. Buch S. 102 / 4

Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log2(32) lautet die Exponentialgleichung 2^x = 32, also x = 5

1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2

2a) 0,5; b) 0,5; c) \frac{1}{3}; d) \frac{1}{3}; e) \frac{1}{5}; f) \frac{2}{3}; g) \frac{3}{2}; h) 5;

i) \frac{9}{2}; k) 0,5; l) \frac{3}{2}; m) -\frac{3}{2}; o) 2; p) -2; q) 0



Maehnrot.jpg
Merke:

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)

Logarithmus eines Quotienten: log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)

Logarithmus einer Potenz: log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)

Zur Begründung der Rechenregeln:
1. log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}, also x + y = log_b(p\cdot q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q).

2. log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p : q = b^x : b^y = b^{x-y}, also x - y = log_b(p : q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q}).

Beispiele:1. log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)

2. log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)

3. log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3

Nuvola apps kig.png   Merke

Für log_{10} schreibt man lg

Für log_e schreibt man ln, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist.

Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner.

4. lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\log(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}


Maehnrot.jpg
Merke:

Basiswechsel: log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}

Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=M10_Der_Logarithmus&oldid=11627“