M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

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Basiswechsel: <math> log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}</math> }}
 
Basiswechsel: <math> log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}</math> }}
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Zur Begründung: <math>x = log_a(p)</math> ist Lösung der Gleichung <math>a^x = p</math>.<br>
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Nun möchte man die Basis a durch die Basis b ersetzen. Dazu verwendet man, dass <math> a = b^{log_b(a)}</math> ist. <br>
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Es ist dann <math>a^x = (b^{log_b(a)})^x = b^{x \cdot log_b(a)}</math> und die Gleichung lautet dann <math>b^{x \cdot log_b(a)}=p</math><br>
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Diese Gleichung löst man nach dem Exponenten auf. Es ist <math>x \cdot log_b(a) = log_b(p)</math<, dividiert durch den Koeffizienten von x und erhält <math> x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}</math>.<br>
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Damit hat man gezeigt, dass <math><math>log_a(p) = x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}</math> ist.

Version vom 22. März 2021, 16:54 Uhr

Die Gleichung 2^x = 4 ist ganz leicht zu lösen. Man erhält x = 2. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
2^x = 1024 hat die Lösung x = 10,
5^x = 625 hat die Lösung x = 4,
3^x = 243 hat die Lösung x = 5.

Doch was macht man, wenn die Gleichung 2^x = 5 lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung x^2 = 4 hat die Lösungen x_1 = -2 und x_2=2. Für die Gleichung x^2 = 5 hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5.

Für die Gleichung 2^x = 5 muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Gleichung a^x = p mit a \in R+ und p > 0 hat die Lösung x = log_a (p).

Man spricht für x = log_a (p): "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Log.jpg


Beispiele: 2^x = 4 hat die Lösung x = log_2(4) = 2
3^x = 243 hat die Lösung x = =log_3(243)=5
10^x = 5 hat die Lösung x = log_{10}(5)
2^x = 19 hat die Lösung x = log_2[18)


30px   Aufgabe 1

1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus
a) 2^3 = 8
b) 5^4 = 625
c) 2^{-3} = \frac{1}{8}
d) 7^0 = 1
e) 10^{-2}=0,01
f) 100^{\frac{1}{2}}=10

2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung
a) log_3(9) = 2
b) log_4(16) = 2
c) log_4(\frac{1}{16}) = -2
d) log_8(0,125) = -1
e) log_3(\frac{1}{81})= -4

1a) 3 = log_2(8)
b) 4 = log_5(625)
c) -3 = log_2(\frac{1}{8})
d) 0 = log_7(1)
e) -2 = log_{10}(0,1)
f) \frac{1}{2}=log_{100}(10)

2a) 3^2 = 9
b) 4^2 = 16
c) 4^{-2}=\frac{1}{16}
d) 8^{-1}=0,125

e) 3^{-4}=\frac{1}{81}
Maehnrot.jpg
Merke:

Es ist log_a(a^r) = r

log_a(1) = 0


30px   Aufgabe 2

1. Buch S. 101 / 3

2. Buch S. 102 / 4

Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log2(32) lautet die Exponentialgleichung 2^x = 32, also x = 5

1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2

2a) 0,5; b) 0,5; c) \frac{1}{3}; d) \frac{1}{3}; e) \frac{1}{5}; f) \frac{2}{3}; g) \frac{3}{2}; h) \frac{3}{2};;

i) \frac{9}{2}; k) 0,5; l) \frac{3}{2}; m) -\frac{3}{2}; o) 2; p) -6; q) 0


30px   Aufgabe 3

Logarithmiere
a) log_a(a^3)
b) log_a(a^5)
c) log_a(1)
d) log_a(\frac{1}{a^2})
e) log_a(\frac{1}{a})
f) log_a(a)
g) log_a(\sqrt a)
h) log_a(\sqrt[5]{a})
i) log_a(\sqrt[4]{a^3})
k) log_a(\frac{1}{\sqrt a})

a) log_a(a^3)= 3
b) log_a(a^5)= 5
c) log_a(1)= 0
d) log_a(\frac{1}{a^2})= -2
e) log_a(\frac{1}{a})= -1
f) log_a(a)=1
g) log_a(\sqrt a)=\frac{1}{2}
h) log_a(\sqrt[5]{a})=\frac{1}{5}
i) log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}

k) log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}


Maehnrot.jpg
Merke:

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)

Logarithmus eines Quotienten: log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)

Logarithmus einer Potenz: log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)


Zur Begründung der Rechenregeln:
1. log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}, also x + y = log_b(p\cdot q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q).

2. log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p : q = b^x : b^y = b^{x-y}, also x - y = log_b(p : q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q}).

Beispiele:1. log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)

2. log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)

3. log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3

30px   Merke

Für log_{10} schreibt man lg

Für log_e schreibt man ln, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist.

Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner.

4. lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\log(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}

30px   Merke

Nicht verwechseln!

Potenzieren.jpg


Maehnrot.jpg
Merke:

Basiswechsel: log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}

Zur Begründung: x = log_a(p) ist Lösung der Gleichung a^x = p.
Nun möchte man die Basis a durch die Basis b ersetzen. Dazu verwendet man, dass a = b^{log_b(a)} ist.
Es ist dann a^x = (b^{log_b(a)})^x = b^{x \cdot log_b(a)} und die Gleichung lautet dann b^{x \cdot log_b(a)}=p
Diese Gleichung löst man nach dem Exponenten auf. Es ist Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x \cdot log_b(a) = log_b(p)</math<, dividiert durch den Koeffizienten von x und erhält <math> x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)} .
Damit hat man gezeigt, dass <math>log_a(p) = x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)} ist.

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