M9 Mehrstufige Zufallsexperimente: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | {{Merke|1=<math>\overline E</math> ist das Gegenereignis des Ereignisses <math>E</math>. Für die Wahrscheinlichkeit <math>P(\overline E)</math> gilt: <math>P(\overline E)=1-P(E)</math>. }} | ||
In diesem Video siehst du wie man mit dem Gegenereignis und den Pfadregeln eine Wahrscheinlichkeit beim Elfmeterschießen berechnet. | In diesem Video siehst du wie man mit dem Gegenereignis und den Pfadregeln eine Wahrscheinlichkeit beim Elfmeterschießen berechnet. | ||
<center>{{#ev:youtube |Us3QNRQEkAA|350}}</center> | <center>{{#ev:youtube |Us3QNRQEkAA|350}}</center> | ||
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+ | {{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 146 / 4<br> | ||
+ | Buch S. 146 / 4<br> | ||
+ | Buch S. 146 / 5 [[Datei:Wuerfel_w4.jpg|100px]] | ||
+ | Buch S. 146 / 6 }} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=146/3<br> | ||
+ | <center>[[Datei:Baumdiagramm 1.jpg]]</center> | ||
+ | An jedem Ast ist die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{6}</math>.<br> | ||
+ | <math>\Omega = \lbrace 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31^, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66 \rbrace </math>. | ||
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+ | Da man <math>\Omega</math> kennt, kann man mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=\frac{Anzahl\ der\ fuer\ A\ guenstigen\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ Ergebnisse}</math> die Wahrscheinlichkeit berechnen.<br> | ||
+ | Hier sollen aber die Pfadregeln angewendet werden. <br> | ||
+ | Damit erhält man sofort, dass jedes Ergebnis <math>\omega_i</math> die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}</math> hat. | ||
+ | Alle Elementarereignisse <math>\lbrace \omega_i \rbrace</math> sind also gleichwahrscheinlich mit <math>P( \lbrace \omega_i \rbrace)=\frac{1}{36}</math>. | ||
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+ | a) <math>P(E_1)=P(\lbrace 45 \rbrace )=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\approx 2,8%</math> | ||
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+ | b) <math>P(E_2)=P(\lbrace 11, 22, 33, 44, 55, 66 \rbrace)= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} +\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=6\cdot \frac{1}{36}= \frac{1}{6}\approx 16,7%</math> | ||
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+ | c)<math>E_3=\overline {E_1} \Rightarrow P(E_3)=1-P(E_1)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\approx 83,3%</math> | ||
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+ | d) <math>P(E_4)=P(\lbrace 46, 55, 64\rbrace)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\approx 8,3%</math> | ||
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+ | e) <math>P(E_5) = 1- P(E_4)=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\approx 91,7%</math> | ||
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+ | f) <math>P(E_6)=1-P(''Die\ Summe\ der\ geworfenen\ Augenzahlen\ hat\ den\ Wert\ 12'')=1-P(\lbrace 66 \rbrace)=1-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{35}{36}\approx 97,2%</math> | ||
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+ | g) <math>P(E_7)=P(\lbrace 26, 34, 43, 62\rbrace) = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{9}\approx 11,1%</math> | ||
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+ | h) <math>P(E_8)=P(\lbrace \rbrace)=0</math> | ||
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+ | i) <math>P(E_9)=P(\lbrace 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66\rbrace)=P\Omega)=1</math> | ||
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+ | 146/2<br> | ||
+ | Zu diesem Zufallsexperiment lässt sich nur sehr schwer ein Baumdiagramm zeichnen. Daher ist es das einfachste, wenn man das Baumdiagramm aus der vorhergehenden Aufgabe sich im Kopf weiter fortgesetzt vorstellt. An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{6}</math>. | ||
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+ | Es ist <math>\Omega = \lbrace 1111, 1112, 1113, 1114, 1115, 1116, 1121, 1122, 1123, 1124, 1125, ..., 6654, 6655, 6656, 6661, 6662, 6663, 6664, 6665, 6666\rbrace </math> und <math>|\Omega|=6^4=1296</math>.<br> | ||
+ | Jedes Ergebnis <math>\omega_i</math> und damit auch jedes Elementarereignis <math>\lbrace \omega_i \rbrace </math> hat die gleiche Wahrscheinlichkeit <math>P(\lbrace \omega_i \rbrace )=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \frac{1}{6^4}=\frac{1}{1296}</math>. | ||
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+ | a) <math>P(E_1)=P(\lbrace 1234 \rbrace)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\left ( \frac{1}{6} \right )^4=\frac{1}{1296} </math> | ||
+ | |||
+ | b) Es gibt 4! Möglichkeiten die 4 Ziffern anzuordnen, also ist <math>P(E_2)= 4! \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4=24\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4</math> | ||
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+ | c) <math>P(E_3)=P(\lbrace 6666, 1111 \rbrace)= \left (\frac{1}{6}\right )^4 + \left (\frac{1}{6}\right )^4=2\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4</math> | ||
+ | |||
+ | d) <math>P(E_4)=\left (\frac{5}{6}\right )^4 </math> | ||
+ | |||
+ | e) <math>P(E_5)=4\cdot \frac{1}{6}\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^3</math> | ||
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+ | f) <math>P(E_6)=1-P(''Die\ Zahl\ enthaelt\ keine\ 6'')=1- \left (\frac{5}{6}\right )^4</math> | ||
+ | |||
+ | g) <math>P(E_7)=4\cdot \frac{1}{6}\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4+ \left (\frac{5}{6}\right )^4</math> | ||
+ | |||
+ | h) <math>P(E_8)= \left (\frac{1}{6}\right )^3 \cdot \left (\frac{1}{6}\right )=\frac{1}{6} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^3</math> | ||
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+ | 146/5 <br> | ||
+ | Ein Tetraeder-Würfel hat die Form einer Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche und dieselben gleichseitigen Dreicke als Seitenflächen. Er besteht also aus 4 gleichseitigen Dreiecken. <br> | ||
+ | Dazu gibt es verschiedene Ausführungen. Im Bild hier hat man eine 4 gewürfelt. Dies erkennt man, dass auf allen Seiten oben an der Spitze eine 4 steht. <br> | ||
+ | [[Datei:Wuerfel_w4.jpg|200px]]<br> | ||
+ | Beim einmaligen Werfen des Tetraederwürfels hat man vier mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3 oder 4 und es ist <math>P(\lbrace 1 \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)= P(\lbrace 3 \rbrace)= P(\lbrace 4 \rbrace)=\frac{1}{4}</math>.<br> | ||
+ | Für das zweimalige Werfen eines Laplace-Tetraeders ergibt sich dieses Baumdiagramm: | ||
+ | Das Baumdiagramm schaut dann so aus:<br> | ||
+ | <center>[[Datei:Baumdiagramm 2.jpg]]</center> | ||
+ | Man sieht, dass es 16 Ergebnisse gibt. <math>\omega=\lbrace 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 \rbrace </math>. Für jeden Ast ist die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{4}</math>. | ||
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+ | <math>P(Summenwert ist eine gerade Zahl)=P(\lbrace 11, 13, 22, 24, 31, 33, 42, 44 \rbrace)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}</math> | ||
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+ | b) Du kannst gerne eine Tetraeder-Würfel basteln oder du hast sogar eine solchen Würfel. Dann überprüfe doch mal Aufgabe a). | ||
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+ | 146/6<br> | ||
+ | [[Datei:Baumdiagramm 3.jpg]] | ||
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+ | Laplace-Münze: P(WW;ZZ)= 0,5·0,5 + 0,5·0,5 = 0,5<br> | ||
+ | P(ZW; WZ)= 0,5·0,5 + 0,5·0,5 = 0,5 | ||
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+ | "gezinkte" Münze: P(WW;ZZ)= 0,55·0,55 + 0,45·0,45 = 0,505<br> | ||
+ | P(ZW; WZ)= 0,45·0,55 + 0,55·0,45 = 0,495 | ||
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+ | Bei der Laplace-Münze sind die beiden Ereignisse gleichwahrscheinlich, bei der "gezinkten" Münze ist die Wahrscheinlchkeit größer gleiche Seiten zu werfen. }} |
Version vom 28. April 2021, 10:11 Uhr
In diesem Video
werden alle Begriffe und die Pfadregeln nochmals an der Tafel erkärt.
145/1
Ein Zufallsexperiment ist: Urne mit drei Kugeln, auf einer Kugel steht 1, auf der zweiten Kugel 2 und auf der dritten Kugel 3. Man zieht zweimal nacheinander eine Kugeln, notiert die Nummer und legt die Kugel zurück.
Als weiteres Zufallsexperiment kann man sich ein Glücksrad vorstellen, dessen Kreis in drei gleich große Teile geteilt ist und in jedem Drittel steht eine der Zahlen 1, 2, 3. Man dreht das Glücksrad, notiert die Zahl, nun dreht man ein zweites Mal das Glücksrad und notiert wieder die Zahl.
145/2
ist das Gegenereignis des Ereignisses . Für die Wahrscheinlichkeit gilt: . |
In diesem Video siehst du wie man mit dem Gegenereignis und den Pfadregeln eine Wahrscheinlichkeit beim Elfmeterschießen berechnet.
146/3
An jedem Ast ist die Wahrscheinlichkeit .
.
Da man kennt, kann man mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit berechnen.
Hier sollen aber die Pfadregeln angewendet werden.
Damit erhält man sofort, dass jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit hat.
Alle Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
146/2
Zu diesem Zufallsexperiment lässt sich nur sehr schwer ein Baumdiagramm zeichnen. Daher ist es das einfachste, wenn man das Baumdiagramm aus der vorhergehenden Aufgabe sich im Kopf weiter fortgesetzt vorstellt. An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit .
Es ist und .
Jedes Ergebnis und damit auch jedes Elementarereignis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit .
a)
b) Es gibt 4! Möglichkeiten die 4 Ziffern anzuordnen, also ist
c)
d)
e)
f)
g)
h)
146/5
Ein Tetraeder-Würfel hat die Form einer Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche und dieselben gleichseitigen Dreicke als Seitenflächen. Er besteht also aus 4 gleichseitigen Dreiecken.
Dazu gibt es verschiedene Ausführungen. Im Bild hier hat man eine 4 gewürfelt. Dies erkennt man, dass auf allen Seiten oben an der Spitze eine 4 steht.
Beim einmaligen Werfen des Tetraederwürfels hat man vier mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3 oder 4 und es ist .
Für das zweimalige Werfen eines Laplace-Tetraeders ergibt sich dieses Baumdiagramm:
Das Baumdiagramm schaut dann so aus:
Man sieht, dass es 16 Ergebnisse gibt. . Für jeden Ast ist die Wahrscheinlichkeit .
b) Du kannst gerne eine Tetraeder-Würfel basteln oder du hast sogar eine solchen Würfel. Dann überprüfe doch mal Aufgabe a).
Laplace-Münze: P(WW;ZZ)= 0,5·0,5 + 0,5·0,5 = 0,5
P(ZW; WZ)= 0,5·0,5 + 0,5·0,5 = 0,5
"gezinkte" Münze: P(WW;ZZ)= 0,55·0,55 + 0,45·0,45 = 0,505
P(ZW; WZ)= 0,45·0,55 + 0,55·0,45 = 0,495