M10 Exponentialgleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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unter Verwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen. | unter Verwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen. | ||
| − | Man kann eigentlich jeden Logarithmus zu irgendeiner Basis verwenden. Der Zehnerlogarithmus ist auf Taschenrechnern als Taste dabei und damit leicht verwendbar. Da auf dem Taschenrechner auch eine ln-Taste für den Logarithmus zur Basis e vorhanden ist, könnte man auch den ln nehmen. Allerdings wissen wir noch nichts über die | + | Man kann eigentlich jeden Logarithmus zu irgendeiner Basis verwenden. Der Zehnerlogarithmus ist auf Taschenrechnern als Taste dabei und damit leicht verwendbar. Da auf dem Taschenrechner auch eine ln-Taste für den Logarithmus zur Basis e vorhanden ist, könnte man auch den ln nehmen. Allerdings wissen wir noch nichts über die Basis e. |
'''Beispiel:''' <math>2 = 1,035^x</math><br> | '''Beispiel:''' <math>2 = 1,035^x</math><br> | ||
| − | Man bildet auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus <math>lg(2)=lg(1,035^x)</math><br> | + | Man bildet auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus <math>lg(2)=lg(1,035^x)</math>.<br> |
Nun wendet man auf der rechten Seite das Potenzgesetz an: <math>log(2)=x\cdot lg(1,035)</math>.<br> | Nun wendet man auf der rechten Seite das Potenzgesetz an: <math>log(2)=x\cdot lg(1,035)</math>.<br> | ||
Diese Gleichung löst man nach x auf <math>x = \frac{lg(2)}{lg(1,035)}\approx 20,149</math> | Diese Gleichung löst man nach x auf <math>x = \frac{lg(2)}{lg(1,035)}\approx 20,149</math> | ||
| − | {{Aufgaben-blau||2=Löse die Exponentialgleichung. Runde gegebenenfalls auf 3 Nachkommastellen. | + | {{Aufgaben-blau|1|2=Löse die Exponentialgleichung. Runde gegebenenfalls auf 3 Nachkommastellen. |
a) <math>5\cdot 1,06^x = 15</math> | a) <math>5\cdot 1,06^x = 15</math> | ||
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Zurücksubstituieren:<br> | Zurücksubstituieren:<br> | ||
<math>2^{x_1}=-1</math> geht nicht!, <math>2^{x_2}=5</math> ergibt <math>x=\frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,322</math> }} | <math>2^{x_1}=-1</math> geht nicht!, <math>2^{x_2}=5</math> ergibt <math>x=\frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,322</math> }} | ||
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| + | {{Aufgaben-blau|2|2=Bearbeite die Aufgaben auf diese Seiten:<br> | ||
| + | 1. [https://de.serlo.org/mathe/26262/aufgaben-zu-exponential-und-logarithmusgleichungen Aufgabe 1].<br> | ||
| + | 2. [https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/gleichungen/exponentialgleichungen Aufgabe 2]. <br> | ||
| + | 3. [http://www.raschweb.de/emg-g9/G8__M_10/M10-Exponentialgleichungen.pdf Aufgabe 3]. <br> | ||
| + | 4. [http://www.raschweb.de/M10-Exponentialgleichungen-quadratisch-v3.pdf Aufgabe 3]. }} | ||
Aktuelle Version vom 8. Mai 2021, 06:29 Uhr
 Merke:
Eine Gleichung, bei der die Unbekannte x nur im Exponenten vorkommt heißt Exponentialgleichung. |
Zum Lösen einer Exponentialgleichung bildet man von beiden Seiten den Zehnerlogarithmus und löst diese neue Gleichung
unter Verwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen.
Man kann eigentlich jeden Logarithmus zu irgendeiner Basis verwenden. Der Zehnerlogarithmus ist auf Taschenrechnern als Taste dabei und damit leicht verwendbar. Da auf dem Taschenrechner auch eine ln-Taste für den Logarithmus zur Basis e vorhanden ist, könnte man auch den ln nehmen. Allerdings wissen wir noch nichts über die Basis e.
Beispiel: 
Man bildet auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus 
.
Nun wendet man auf der rechten Seite das Potenzgesetz an: 
.
Diese Gleichung löst man nach x auf 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
k) 
l) 
hat keine Lösung!
m) 
o) 
Substituiere 
Zurücksubstituieren:
geht nicht!, 
ergibt 
