M10 Eigenschaften der Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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2. Der Graph der Funktion f mit f(x) = b·a<sup>x</sup> geht stets durch den Punkt (0;b). }} | 2. Der Graph der Funktion f mit f(x) = b·a<sup>x</sup> geht stets durch den Punkt (0;b). }} | ||
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+ | {{Aufgaben-blau|3|2=1. Drucke dieses [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/sites/arbeitsblatt1_exponentialfunktion.pdf Blatt] aus und zeichne die Graphen. Übberprüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.<br> | ||
+ | 2. [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/sites/graph_term/graph_term1.htm Ordne richtig zu.] }} | ||
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* für a > 1 ist der Graph montoton steigend. | * für a > 1 ist der Graph montoton steigend. | ||
− | * Für 0 < a < 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die positive x-Achse; die positive x-Achse ist Asymptote.<br> | + | * Für 0 < a < 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die positive x-Achse; die positive x-Achse ist '''Asymptote'''.<br> |
− | * Für a > 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die negative x-Achse; die negative x-Achse ist Asymptote. | + | * Für a > 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die negative x-Achse; die negative x-Achse ist '''Asymptote'''. |
'''b ≠ 1''' | '''b ≠ 1''' | ||
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* Die Graphen der Funktionen f mit f(x) = b·a<sup>x</sup> und g mit g(x) = -b ·a<sup>x</sup> sind symmetrisch bezüglich der x-Achse. }} | * Die Graphen der Funktionen f mit f(x) = b·a<sup>x</sup> und g mit g(x) = -b ·a<sup>x</sup> sind symmetrisch bezüglich der x-Achse. }} | ||
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+ | {{Aufgaben-blau|4|2=1. Verifiziere die Aussagen des Merksatzes mit Hilfe des Applets. | ||
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+ | <ggb_applet height="600" width="600" | ||
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+ | 2.a) Welche Bedeutung hat der Wert des Parameters a für den Verlauf des Graphen? <br> | ||
+ | b) Was ist für a =1? <br> | ||
+ | c) Welche Bedeutung hat der Wert von b für den Verlauf des Graphen?}} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=2.a) Der Parameter a gibt das Wachstum an. Ist 0 < a < 1, so hat man eine exponentielle Abnahme, für 1 < a eine exponentielle Zunahme.<br> | ||
+ | 0 < a < 1: Je kleiner a ist, desto schwächer fällt der Graph. Nähert sich a dem Wert 1, dann fällt der Graph steiler. <br> | ||
+ | 1 < a: Je größer a wird, desto steiler wird der Graph.<br> | ||
+ | b) Für a = 1 hat man die konstante Funktion f(x) = b·1<sup>x</sup> = b·1 = b.<br> | ||
+ | c) Der Parameter b gibt den Startwert bei x = 0 an. Veränderung von b streckt bzw. staucht den Graph der Exponentialfunktion <math>f:x \to a^x</math>, wenn 0 < b < 1 wird er nach unten in y-Richtung gestaucht, wenn 1 < b ist nach oben in y-Richtung gestreckt. Wenn b negativ ist erfolgt eine Spiegelung an der x-Achse. }} | ||
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+ | =Aufgaben= | ||
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+ | {{Aufgaben-blau|5|2=1. Zeichne die beiden Graphen G<sub>f</sub> und G<sub>g</sub> für das Intervall [-2;2]. Was stellst du fest? Erkläre deine Beobachtung!<br> | ||
+ | a) <math>f(x) = 3^x; g(x) = (\frac{1}{3})^x</math><br> | ||
+ | b) <math>f(x) = (\frac{3}{2})^x; g(x) = (\frac{2}{3})^x</math><br> | ||
+ | c) f(x) = 2,5<sup>x</sup>; g(x) = 0,4<sup>x</sup> | ||
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+ | 2. Gib jeweils an, ob es sich um eine Exponentialfunktion, eine lineare Funktion, eine quadratische Funktion oder eine Bruchfunktion handelt. Zeichne jeweils den groben Verlauf des Graphen. <br> | ||
+ | a) <math>f(x) = 3 \cdot 2^x</math><br> | ||
+ | b) <math>f(x) = 3 \cdot x^2</math><br> | ||
+ | c) <math>f(x) = 3 \cdot 2x</math><br> | ||
+ | d) <math>f(x) = 3 : x</math><br> | ||
+ | e) <math>f(x) = 3 - x^2</math><br> | ||
+ | f) <math>f(x) = 3 - 2x</math><br> | ||
+ | g) <math>f(x) = 3 \cdot 0,5^x</math><br> | ||
+ | h) <math>f(x) = (x + 1) (x-1)</math> }} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=1. siehe Applet 1 nach der Lösung.<br> | ||
+ | Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse. <br> | ||
+ | Begründung: Ersetzt man x durch -x, dann ist <math>f(-x) = a^{-x} = (\frac{1}{a})^x = g(x)</math> | ||
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+ | 2.a) Exponentialfunktion <br> | ||
+ | b) quadratische Funktion<br> | ||
+ | c) lineare Funktion<br> | ||
+ | d) Bruchfuntkion<br> | ||
+ | e) quadratische Funktion<br> | ||
+ | f) lineare Funktion<br> | ||
+ | g) Exponentialfunktion<br> | ||
+ | h) quadratische Funktion <br> | ||
+ | Graphen siehe Applet 2 nach der Lösung }} | ||
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+ | Applet 1: <ggb_applet height="400" width="600" filename="95-5.ggb" /> | ||
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+ | Applet 2: <ggb_applet height="400" width="600" filename="95-7.ggb" /> |
Aktuelle Version vom 20. November 2022, 10:59 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Funktion
1. Für 0 < a < 1 ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend, für a > 1 ist sie streng monoton steigend.
2. Für a = 1 ist die Funktion konstant.
3. Der Graph der Funktion verläuft für alle Werte von a oberhalb der x-Achse.
Die Funktion
1. Wenn der Faktor b negativ ist, verläuft der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse.
Zusammenfassung
2.a) Der Parameter a gibt das Wachstum an. Ist 0 < a < 1, so hat man eine exponentielle Abnahme, für 1 < a eine exponentielle Zunahme.
0 < a < 1: Je kleiner a ist, desto schwächer fällt der Graph. Nähert sich a dem Wert 1, dann fällt der Graph steiler.
1 < a: Je größer a wird, desto steiler wird der Graph.
b) Für a = 1 hat man die konstante Funktion f(x) = b·1x = b·1 = b.
Aufgaben
1. siehe Applet 1 nach der Lösung.
Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
Begründung: Ersetzt man x durch -x, dann ist
2.a) Exponentialfunktion
b) quadratische Funktion
c) lineare Funktion
d) Bruchfuntkion
e) quadratische Funktion
f) lineare Funktion
g) Exponentialfunktion
h) quadratische Funktion
Applet 1:
Applet 2: