Mathematik Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus RSG-Wiki
Berny1 (Diskussion | Beiträge) |
|||
| (8 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
auch reizvoll für den Analysisunterricht im Hinblick auf Definitionsmenge und Randextrema</span> | auch reizvoll für den Analysisunterricht im Hinblick auf Definitionsmenge und Randextrema</span> | ||
| − | + | '''Aufgaben:''' | |
| − | + | 1. Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite x auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | a) Der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks hängt von der Seitenlänge x ab.<br> | |
| − | a) Der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks hängt von der Seitenlänge x ab. | + | Gib die Funktion A: x --> A(x) durch ihre Funktionsgleichung an<br> |
| − | Gib die Funktion A: x --> A(x) durch ihre Funktionsgleichung an | + | Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion A.<br> |
| − | Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion A. | + | b) Zeichne in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion A.<br> |
| − | b) Zeichne in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion A | + | |
c) Für welche Maße x wird der Inhalt des einbeschriebenen Rechtecks am größten? Wie groß ist der maximale Inhalt? | c) Für welche Maße x wird der Inhalt des einbeschriebenen Rechtecks am größten? Wie groß ist der maximale Inhalt? | ||
| − | + | Im folgenden Applet hat der Punkt X die x-Koordinate der linken unteren Ecke des Rechtecks. Darüber trägt man als y-Koordinate den Flächeninhalt des Rechtecks auf. <br> | |
| + | Bewegt man den Punkt E (linker oberer Eckpunkt des Rechtecks) auf der Seite [AC], dann wird der Graph der Funktion A angezeigt, die jedem x den zugehörigen Flächeninhalt zuordnet. | ||
| + | <center> | ||
| + | <ggb_applet width="535" height="482" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br><br></center> | ||
| − | + | 2. Einem gleichseitigen Trapez (Grundseiten a =10cm, c = 2cm, Höhe h = 8cm) werden analog wie beim Dreieck Rechtecke einbeschrieben.<br> | |
| − | + | a) Der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks hängt von der Seitenlänge x ab.<br> | |
| − | a) | + | Gib die Funktion A: x --> A(x) durch ihre Funktionsgleichung an.<br> |
| − | + | Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion A.<br> | |
| − | c) Für | + | b) Zeichne in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion A.<br> |
| + | c) Für welche Maße x wird der Inhalt des einbeschriebenen Rechtecks am größten? Wie groß ist der maximale Inhalt?<br> | ||
| − | + | Im folgenden Applet hat der Punkt X die x-Koordinate der linken unteren Ecke des Rechtecks. Darüber trägt man als y-Koordinate den Flächeninhalt des Rechtecks auf. (Anmerkung: Hier wurde, damit die Grafik nicht zu hoch wird, nur der 40% des Maßes des Flächeninhalts aufgetragen!)<br> | |
| + | Bewegt man den Punkt E (linker oberer Eckpunkt des Rechtecks) auf der Seite [AC], dann wird der Graph der Funktion A angezeigt, die jedem x den zugehörigen Flächeninhalt zuordnet. <br> | ||
| + | <center> | ||
| + | <ggb_applet width="536" height="541" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br><br></center> | ||
| − | + | 3. Für ein Kleintiergehege wurden 15m Zaun gekauft. Das Gehege soll an ein Haus anschließen, kann aber wegen einer Straße und einem Bach nicht breiter als die Hausseite (5m) sein.<br> | |
| + | a) Stelle den Inhalt A der Grundfläche in Abhängigkeit von der Breite x des Geheges dar.<br> | ||
| + | b) Zeichne den Graphen von A: x -->A(x) unter Berücksichtigung der Definitionsmenge von A.<br> | ||
| + | c) Für welchen Wert von x wird das Gehege (A) am größten?<br> | ||
Aktuelle Version vom 15. Januar 2013, 19:11 Uhr
Extremwertaufgaben konstruktiv gelöst - auch reizvoll für den Analysisunterricht im Hinblick auf Definitionsmenge und Randextrema
Aufgaben:
1. Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite x auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen.
a) Der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks hängt von der Seitenlänge x ab.
Gib die Funktion A: x --> A(x) durch ihre Funktionsgleichung an
Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion A.
b) Zeichne in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion A.
c) Für welche Maße x wird der Inhalt des einbeschriebenen Rechtecks am größten? Wie groß ist der maximale Inhalt?
Im folgenden Applet hat der Punkt X die x-Koordinate der linken unteren Ecke des Rechtecks. Darüber trägt man als y-Koordinate den Flächeninhalt des Rechtecks auf.
Bewegt man den Punkt E (linker oberer Eckpunkt des Rechtecks) auf der Seite [AC], dann wird der Graph der Funktion A angezeigt, die jedem x den zugehörigen Flächeninhalt zuordnet.
2. Einem gleichseitigen Trapez (Grundseiten a =10cm, c = 2cm, Höhe h = 8cm) werden analog wie beim Dreieck Rechtecke einbeschrieben.
a) Der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks hängt von der Seitenlänge x ab.
Gib die Funktion A: x --> A(x) durch ihre Funktionsgleichung an.
Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion A.
b) Zeichne in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion A.
c) Für welche Maße x wird der Inhalt des einbeschriebenen Rechtecks am größten? Wie groß ist der maximale Inhalt?
Im folgenden Applet hat der Punkt X die x-Koordinate der linken unteren Ecke des Rechtecks. Darüber trägt man als y-Koordinate den Flächeninhalt des Rechtecks auf. (Anmerkung: Hier wurde, damit die Grafik nicht zu hoch wird, nur der 40% des Maßes des Flächeninhalts aufgetragen!)
Bewegt man den Punkt E (linker oberer Eckpunkt des Rechtecks) auf der Seite [AC], dann wird der Graph der Funktion A angezeigt, die jedem x den zugehörigen Flächeninhalt zuordnet.
3. Für ein Kleintiergehege wurden 15m Zaun gekauft. Das Gehege soll an ein Haus anschließen, kann aber wegen einer Straße und einem Bach nicht breiter als die Hausseite (5m) sein.
a) Stelle den Inhalt A der Grundfläche in Abhängigkeit von der Breite x des Geheges dar.
b) Zeichne den Graphen von A: x -->A(x) unter Berücksichtigung der Definitionsmenge von A.
c) Für welchen Wert von x wird das Gehege (A) am größten?
