M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Du hast für die in direkte Proportionalität <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat. <br> | Du hast für die in direkte Proportionalität <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat. <br> | ||
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Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach <math>- \infty</math> und wenn x positiv ist nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asympote immer mehr an. | Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach <math>- \infty</math> und wenn x positiv ist nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asympote immer mehr an. | ||
Anders schaut es schon bei dieser Funktion <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.<br> | Anders schaut es schon bei dieser Funktion <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.<br> | ||
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Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte an 0 nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asymptote immer mehr an. | Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte an 0 nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asymptote immer mehr an. | ||
Die Funktion Funktion <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.<br> | Die Funktion Funktion <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.<br> | ||
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| − | Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. | + | Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach <math>-\infty</math> oder <math>\infty</math>. |
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| + | {{Merke|1=Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke '''Polstelle'''.}} | ||
| + | Du hast auch schon gesehen (Aufgabe S. 117/11), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.<br> | ||
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| + | Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse. | ||
| + | Für <math> x \rightarrow ±\infty</math> treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.<br> | ||
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten. | Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten. | ||
Version vom 24. März 2020, 08:55 Uhr
Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.
Du hast für die in direkte Proportionalität 
gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat.
Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach 
und wenn x positiv ist nach 
und nähern sich der Asympote immer mehr an.
Anders schaut es schon bei dieser Funktion 
aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.
Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte an 0 nach und nähern sich der Asymptote immer mehr an.
Die Funktion Funktion 
hat wegen x2-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.
Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach oder .
 Merke
Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke Polstelle. |
Du hast auch schon gesehen (Aufgabe S. 117/11), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.
Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x \rightarrow ±\infty
treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.
für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.
Die senkrechte Asymptote ist für alle Fälle bei x = 1 und ändert sich nicht.
Ist n = 1 oder n = 2 (die x-Potenz im Zähler ist x oder x2 ist kleiner als die Zählerpotenz x3 im Nenner), dann die x-Achse y = 0 für 
waagrechte Asymptote.
Bei n = 3 (man hat hier x3 als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür waagrechte Asymptote.
sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.
| Merke
Für für |
