M11 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff: Unterschied zwischen den Versionen
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1. <math>P(E) \ge 0</math> | 1. <math>P(E) \ge 0</math> | ||
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2. <math>P(\Omega)=1</math> | 2. <math>P(\Omega)=1</math> | ||
− | 3. Sind zwei Ereignisse A und B unvereinbar <math>A \cap B=\lbrace | + | 3. Sind zwei Ereignisse A und B unvereinbar <math>A \cap B=\lbrace \rbrace</math>, dann ist <math>P(A \cup B)=P(A)+P(B)</math>. |
{{Merke|1=Zwei Ereignisse Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn <math>A \cap B=\lbrace \rbrace</math> ist. }} | {{Merke|1=Zwei Ereignisse Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn <math>A \cap B=\lbrace \rbrace</math> ist. }} | ||
− | Über | + | Über 100 Jahre später definierte [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow Kolmogorow] Wahrscheinlichkeiten über seine Axiome zur Wahrscheinlichkeitsfunktion. |
{{Merksatz|MERK='''Axiomensystem von Kolmogorow''' | {{Merksatz|MERK='''Axiomensystem von Kolmogorow''' | ||
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{{Aufgaben-blau|2|2=Bearbeiten Sie [http://www.raschweb.de/M11-Kolmogorow.pdf dieses Arbeitsblatt]. }} | {{Aufgaben-blau|2|2=Bearbeiten Sie [http://www.raschweb.de/M11-Kolmogorow.pdf dieses Arbeitsblatt]. }} | ||
− | {{Merke|1=Hinweis zur Schreibweise | + | {{Merke|1=Ist <math>\Omega = \lbrace \omega_1, \omega_2, ... , \omega_n \rbrace</math> der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments. Dann ist <math>P(\Omega)=P(\lbrace \omega_1 \rbrace) + P(\lbrace \omega_2 \rbrace) + ... + P(\lbrace \omega_n \rbrace) = 1</math>. |
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+ | Hinweis zur Schreibweise: Wahrscheinlichkeiten haben als Argument ein Ereignis E. Ein Ereignis E ist eine Menge von Ergebnissen <math>\omega_i</math>. Ereignisse mit nur einem Ergebnis sind Elementarereignisse und man schreibt <math>E=\lbrace \omega_i \rbrace </math>. <br> | ||
Man muss also für die Wahrscheinlichkeit schreiben: <math>P(E)</math> oder <math>P(\lbrace \omega_i \rbrace) </math>.<br> | Man muss also für die Wahrscheinlichkeit schreiben: <math>P(E)</math> oder <math>P(\lbrace \omega_i \rbrace) </math>.<br> | ||
− | Bei der Wahrscheinlichkeit <math>P(\lbrace \omega_i \rbrace</math> für ein Elementarereignis <math>\lbrace \omega_i\rbrace</math> muss man das Argument als Ereignis schreiben, dies bedeutet, dass das Ergebnis in Mengenklammern steht!}} | + | Bei der Wahrscheinlichkeit <math>P(\lbrace \omega_i \rbrace)</math> für ein Elementarereignis <math>\lbrace \omega_i\rbrace</math> muss man das Argument als Ereignis schreiben, dies bedeutet, dass das Ergebnis in Mengenklammern steht!}} |
{{Aufgaben-blau|3|2=Gegeben sind der Ergebnisraum <math>\Omega = \lbrace \omega_1, \omega_2, \omega_3 ,\omega_4 \rbrace</math>, die Ereignisse <math>E_1=\lbrace \omega_1, \omega_2 \rbrace, E_2=\lbrace \omega_3 \rbrace, E_3=\lbrace \omega_4 \rbrace</math> und die Wahrscheinlichkeiten <math>P(E_1)=0,2, P(E_3) = 0,5=P(E_4)</math>. | {{Aufgaben-blau|3|2=Gegeben sind der Ergebnisraum <math>\Omega = \lbrace \omega_1, \omega_2, \omega_3 ,\omega_4 \rbrace</math>, die Ereignisse <math>E_1=\lbrace \omega_1, \omega_2 \rbrace, E_2=\lbrace \omega_3 \rbrace, E_3=\lbrace \omega_4 \rbrace</math> und die Wahrscheinlichkeiten <math>P(E_1)=0,2, P(E_3) = 0,5=P(E_4)</math>. |
Aktuelle Version vom 28. April 2021, 10:20 Uhr
Ein wichtiger Begriff bei Berechnungen ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit. Laplace führte bei gleichwahrscheinlichen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E aals
Anzahl der für E günstigen Ergebnisse P(E)= --------------------------------------- Anzahl aller Ergebnisse
Diese Laplace-Wahrscheinlichkeiten waren auch der Wert, um den sich die relative Häufigkeit beim sehr oft wiederholten Zufallsexperiment stabilisiert hat.
Für die relative Häufigkeit hatte man diese Eigenschaften, die sich dann auch auf die Laplace-Wahrscheinlichkeit übertragen haben:
1.
2.
3. Sind zwei Ereignisse A und B unvereinbar , dann ist .
Zwei Ereignisse Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn ist. |
Über 100 Jahre später definierte Kolmogorow Wahrscheinlichkeiten über seine Axiome zur Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Merke:
Axiomensystem von Kolmogorow Eine Funktion P, die jeder Teilmenge E einer Ergebnismenge eine reelle Zahle P(E) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrschlichkeitsverteilung, wenn die drei Bedingungen erfüllt sind: 1. (Nichtnegativität) 2. (Normiertheit) 3. (Additivität), wenn |
Man sieht, dass die Axiome von Kolmogorow sich sehr stark an die Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeiten anlehnen. Nur geht es hier um die geforderten Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die hiermit jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit P(E) zuordnet. Die Funktion P muss diese drei Axiome erfüllen, dann ist sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Beispiele: 1. Werfen eines Laplace-Würfels
Die Wahrscheinlichkeiten beim Laplace-Würfel für die möglichen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, 6 sind jeweils
Die Axiome von Kolmogorow sind erfüllt:
1.
2.
3. Die Ergebnisse sind unvereinbare Ereignisse, es gilt hier die Summenformel.
Also hat man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die jedem Ergebnis (Elementarereignis) die Wahrscheinlichkeit zuordnet.
2. Werfen eines "gezinkten" Würfels
Man hat einen Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 und und
Auch hier sind die Axiome von Kolmogorw erfüllt:
1.
2.
3. Die Ergebnisse sind unvereinbare Ereignisse, es gilt hier die Summenformel.
3. Werfen eines "exotischen Würfels"
Man hat einen Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 und und
Hier ist das 2. Axiom von Kolmogorw nicht erfüllt:
2.
P ist keine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diesen Würfel gibt es nicht!
Was macht man, wenn und nicht unvereinbar sind?
Das Ereignisdiagramm schaut dann so aus:
Hier sieht man, dass in der Schnittmenge alle Elemente sind, die sowohl in als auch in vorkommen. In der Vereinigungsmenge werden diese Elemente für P(A) und P(B) jeweils gezählt, sie werden doppelt gezählt. Um dies zu korrigieren, muss man die Elemente der Schnittmenge einmal abziehen.
Für Ereignisse A und B, die nicht unvereinbar sind () gilt: |
und sind unvereinbare Ereignisse. Es ist . Weiter ist .
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann .
Ist der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments. Dann ist .
|
a)Es ist .
b) Mit ist und P ist damit eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
, wenn , dann ist und .
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P hat dann diese Werte: