Asymptoten bei rationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 20: | Zeile 20: | ||
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:<br> | Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:<br> | ||
* Ist z < n, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse <math> y = 0</math> Asymptote. | * Ist z < n, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse <math> y = 0</math> Asymptote. | ||
− | * Ist z = n | + | * Ist z = n und ist <math>a_n </math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Zählerpolynom und <math>b_n</math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Nennerpolynom, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die Gerade <math>y = \frac{a_n}{b_n}</math> Asymptote. |
− | * Ist z = n+1,dann kann man mittels Polynomdivision den Bruch in einen linearen Term <math>mx+t</math> und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term <math>y = mx+t</math> gibt die Asymptote an. | + | * Ist z = n+1,dann kann man mittels [http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/sfs0001.htm Polynomdivision] den Bruch in einen linearen Term <math>mx+t</math> und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term <math>y = mx+t</math> gibt die Asymptote an. |
* Ist z > n+1, dann hat der Graph von <math>f</math> eine asymptotische Kurve. | * Ist z > n+1, dann hat der Graph von <math>f</math> eine asymptotische Kurve. | ||
}} | }} |
Aktuelle Version vom 4. Oktober 2012, 14:38 Uhr
Eine Gerade heißt Asymptote für zum Graph der Funktion , wenn ist. |
Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass der Graph und die Gerade für beliebig nahe kommen ohne sich zu schneiden.
Wir betrachten nun Asymptoten für gebrochen rationale Funktionen im maximalen Definitionsbereich.
30px Aufgabe
Wir betrachten im folgenden Applet die Funktion für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen? |
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:
|
Im folgenden Applet ist eine ähnliche Funktionenschar wie oben dargestellt: für n = 1, 2, 3, 4. Der Grad des Nennerpolynoms ist diesmal 2.
n lässt sich wieder mit dem Schieberegler variieren.
Da das Nennerpolynom Grad 2 hat sieht man für n = 4 die asymptotische Parabel, an die sich der Graph für annähert.
Hier sind die Überlegungen nochmals zusammengefasst.
Zusammenfassung mit Beispielen: