M11 Das Newtonsche Iterationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 11. Dezember 2020, 09:09 Uhr

Für lineare und quadratische Funktionen hat man zur Bestimmung der Nullstellen Gleichungen zu lösen. Bei quadratischen Funktionen gibt es hierzu die Lösungsformel. Für Polynome höheren Grades kann man meist nur Nullstellen erraten und dann per Polynomdivision versuchen auf ein Polynom 2. Grades zu kommen.
Bei vielen Funktionen hat man Probleme die Nullstellen zu bestimmen. Oftmals reicht es aus, wenn man einen Näherungswert hat. Ein Verfahren um einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion zu finden ist das Newtonsche Iterationsverfahren.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Lesen Sie im Buch auf S.73 den gelb unterlegten Text durch. Schauen Sie sich danach die zwei Beispiele Auf S.73-74 an.

In diesem Video wird das Newton-Verfahren erkärt.

In diesem Applet wird das Verfahren schrittweise dargestellt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Machen Sie jeweils den ersten Schritt des Newton-Verfahrens für die Funktionen
Verwenden Sie jeweils als Startwert x0 = 5.
a) f:x \rightarrow x^3+x^2+1
b) f:x \rightarrow x^3+x-5
c) f:x \rightarrow x^4-3x-3

a) x1 = 3,2235
Diese Lösung soll nochmals ausführlich dargestellt werden. Man erhält x1 indem man im Punkt P(x0),f(x0) auf dem Graphen von f die Tangente macht.
Es ist f(5) = 53+52+1=151.
Die Steigung der Tangente erhält man durch f'(5).
Die Ableitungsfunktion f' ist durch f(x) = 3x2+2x gegeben. Es ist f'(5) = 85.
Den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist nun x1 und x1 erhält man nun durch die Formel x_1=x_0-\frac{f(x_0}{f'(x_0)} .
Es ist also x_1=x_0-\frac{f(x_0}{f'(x_0)}=5-\frac{151}{85}=3,2235...
b) x1 = 3,3552

c) x1 = 3,77876


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Ermitteln Sie jeweils alle Nullstellen der Funktion f nach dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau.
Verwenden Sie wieder als Startwert x0=5.
Hierzu empiehlt sich eine Tabellenkalkulation! Beim Aufgabe a) brauchen Sie 26 Schritte.
a) f:x \rightarrow x^3+x^2+1
b) f:x \rightarrow x^3+x-5
c) f:x \rightarrow x^4-3x-3

In der Tabellenkalukaltion können Sie leicht den Startwert x0 ändern. Variieren Sie x0 und schauen Sie nach wie vielen Schritten Sie die Nullstelle erhalten.

a) x26 = - 1,46557
b) x6 = 1,51598

c) x7 = 1,6846


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Diese Aufgabe hat nichts mit dem Newton-Verfahren zu tun.
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