M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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− | {{Merke|1=Der Teilpunkt T teilt eine Strecke [AB] im '''Teilverhältnis''' <math>\tau</math>. Dabei ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>. | + | {{Merke|1=Der Teilpunkt T teilt eine Strecke [AB] im '''Teilverhältnis''' <math>\tau</math>. Dabei ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>.<br> |
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Dabei ist zu beachten, dass hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn T die Strecke [AB] teilt, dann geht man von A zu T und dann von T zu B. Dann ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>.<br> | Dabei ist zu beachten, dass hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn T die Strecke [AB] teilt, dann geht man von A zu T und dann von T zu B. Dann ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>.<br> | ||
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Da Vektoren auch entgegengesetzt gerichtet sein können ist nun auch ein negatives <math>\tau</math> sinnvoll. <br> | Da Vektoren auch entgegengesetzt gerichtet sein können ist nun auch ein negatives <math>\tau</math> sinnvoll. <br> | ||
Ist <math>\tau</math> positiv, dann ist T ein innerer Teilpunkt. (T liegt innerhalb der Strecke [AB].)<br> | Ist <math>\tau</math> positiv, dann ist T ein innerer Teilpunkt. (T liegt innerhalb der Strecke [AB].)<br> | ||
− | Ist <math>\tau</math> negativ, dann ist T ein äußerer Teilpunkt. (T liegt außerhalb der Strecke [AB].) | + | Ist <math>\tau</math> negativ, dann ist T ein äußerer Teilpunkt. (T liegt außerhalb der Strecke [AB].) |
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+ | <ggb_applet height="400" width="700" | ||
+ | filename="Lokale Änderungsrate.ggb" /> | ||
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+ | Mehr dazu auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Teilverh%C3%A4ltnis Wikipedia]. }} |
Version vom 17. Januar 2021, 13:12 Uhr
In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.
Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist .
Merke:
Der Ortsvektor ![]() |
Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor
. Also insgesamt
.
, also M(3,5;3,5;3,5)
![\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5 \end{array}\right)](/images/math/f/3/0/f306226783f22a7c9c91ce329df9c42e.png)
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.
Merke:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren ![]() |
Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Man geht zurest mit dem Vektor zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
Nun ist und
Damit ist
Hinweis: erhält man aus dem Strahlensatz!
, also S(4;3;2).
Die Seitenlängen des Dreiecks sind: ,
,
, also ist das Dreieck gleichschenklig.
Es ist
a)
b)
c)
d)
e)
![\vec m=\left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)](/images/math/e/c/8/ec8d02270ee2473e6b2b153589cd29d5.png)
Die beiden Formeln zum Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks stehen in der Merkhilfe!
98/8
Im Bild im Buch sind die Vektoren und
gegeben. Desweiteren weiß man
. Dann sind:
,
98/9 Es ist C(0;4;0) und D(0;0;0). C und D ergeben sich eindeutig, da die Pyramide gerade ist. Eine Pyramide ist gerade, wenn ihr Höhenfußpunkt gleich dem Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche ist.
a)
b) Es ist O = 4·A + G, wenn A eine Seitenfläche und G die Grundfläche ist.
Der Winkel SBC im Dreieck SBC ist der gleiche wie im Dreieck SBF, wenn F der Höhenfusspunkt der Höhe von S auf [BC] ist. Das hat den Vorteil, dass das Dreieck SBF bei F rechtwinklig ist. Dann ist und
. Dann ist im Dreieck SBF der Winkel
durch
gegeben und es ist
.
99/14
Den Bildpunkt P* erhält man durch .
a)
b)
![\vec u=\frac{1}{4} \vec {AB} , \vec v = \frac{3}{4} \vec {BA}, \vec w=\frac{5}{4}\vec{AB}](/images/math/6/a/3/6a389a0bae65427bc1c3284f519c33b5.png)
Der Teilpunkt T teilt eine Strecke [AB] im Teilverhältnis Dabei ist zu beachten, dass hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn T die Strecke [AB] teilt, dann geht man von A zu T und dann von T zu B. Dann ist Durch die Verwendung von Vektoren hat man den Vorteil, dass das Teilverhältnis auch negativ sein kann. Man definiert: ![]() Da Vektoren auch entgegengesetzt gerichtet sein können ist nun auch ein negatives
Mehr dazu auf Wikipedia. |